So, meine Damen und Herren, kleine Verspätung. Bitte ich zu entschuldigen. Wir sind etwas

aufgehalten worden, aber alles ist in Ordnung. Gut, wir hatten ja gestern uns angefangen

mit dem Stoffgesetz zu beschäftigen und hatten uns mit dem Huxchengesetz

angefreundet und hatten festgestellt, dass die Dehnung, jetzt im eindimensionalen Fall,

epsilon x, ich schreibe es mal so rum hin, proportional zur aufgebrachten Spannung sigma x ist,

eigentlich würde ich doppelt indizieren hier, sigma xx, zum Beispiel epsilon xx und in ähnlicher

Form galt das für das gamma xy gleich zweimal epsilon xy in der Form ist eins durch g tau xy

und das ist aber das gleiche wie sigma xy, also tau und sigma xy kann man synonym verwenden,

Huxchesgesetz soll das heißen. Das war sozusagen der lineaelastische Zusammenhang für die Dehnung

in Normalrichtung und für die Schubverzerrung. Außerdem hatten wir festgestellt, dass sich ein

Körper, wenn ich ihn in einer Richtung belaste, also in sigma xx meinetwegen, daran ziehe, es eine

Querkontraktion gibt, also eine Dehnung in den Richtung senkrecht dazu, das heißt es gibt hier

epsilon xy noch, Entschuldigung epsilon yy, also in der y-Richtung, die ist proportional zu dem epsilon

xx, also minus nu mal epsilon xx und das epsilon xx, das ersetze ich gleich, also schreiben Sie es

nicht hin, wenn Sie mitschreiben, kann ich aber ersetzen durch diesen Ausdruck hier, das heißt ich

nehme das weg und schreibe hier nu durch e mal sigma xx, das ist aber das epsilon xx und genauso

gibt es eine Querdehnung oder Querkontraktion in der z-Richtung, ebenfalls proportional zu dem epsilon

xx, aber das ist wieder sigma xx durch e. Das ist sozusagen die Gleichung, die wir beim letzten Mal

hatten. Wenn ich das Ganze jetzt dreidimensional mache, dann kann ich das in den drei Richtungen

einfach überlagern, das heißt wenn ich jetzt ein sigma yy aufbringe noch, dann gibt es eine

Dehnung epsilon yy infolge des sigma yy und die ist auch plus eins durch e sigma yy,

und es gibt Querkontraktion infolge des sigma yy in den beiden anderen Richtungen, nämlich hier

minus nu durch e mal sigma yy und minus nu durch e sigma yy. Das sind die Effekte infolge eines

sigma xx, das die Effekte infolge des sigma yy und für das sigma zz habe ich halt hier plus

eins durch e sigma zz und hier die Querkontraktion nu durch e sigma zz und hier minus nu durch e sigma

zz. Ich mache das mal hier weg, also ich schreibe hier mal gamma xy hier hin, damit das da reinpasst.

Das ist sozusagen, ich kann die einzelnen Effekte aus dem sigma xx, die direkte Dehnung sozusagen

und die beiden Querkontraktionsanteile, das funktioniert in jede Richtung gleich und dann

kann ich das einfach insgesamt aufaddieren und für die Schubverzerrung sieht das halt auch in

den anderen Ebenen dann genauso aus wie in der xy Ebene, das heißt ich hätte hier ein gamma yz

wäre eins durch g tau yz und ein gamma zx in der zx Ebene wäre eins durch g tau zx. Also so kann

ich das für das Dreidimensionale einfach erweitern und das könnte ich jetzt folgendermaßen hinschreiben,

in kompakter Form auch in so einer Art Indexnotation wieder. Wenn ich berücksichtige,

den Zusammenhang hatten wir gestern schon, das e kann ich durch das g ausdrücken oder umgekehrt,

also ich drücke das e durch das g aus, wenn ich sage e ist 2 mal g 1 plus nu, das heißt von den

drei Materialkonstanten e, g und nu sind nur zwei unabhängig, die dritte kann man immer ausrechnen,

und dem Zusammenhang, dass ich sage, dass das gamma ij gleich 2 mal epsilon ij ist, ja die Gammas,

diese Schubverzerrung waren ja das doppelte der jeweiligen Einträge im Verzerrungssensor,

also für die Nebendiagonalelemente, dann kann ich das folgendermaßen schreiben, dann kann ich meinen

Stoffgesetz hinschreiben epsilon ij ist gleich 1 durch 2g mal sigma ij minus delta ij, was das

bedeutet erkläre ich gleich und dann steht hier der Term nü durch 1 plus nü mal s und was das ist,

sage ich auch gleich. Ich habe jetzt zwei neue Abkürzungen eingeführt mit s ist gleich sigma xx

plus sigma yy plus sigma zz, das ist also die Summe der Diagonalelemente und die Summe der

Normalspannung, das nenne ich s, damit ich das hier nicht ausschreiben muss, dieses Ding,

diese Summe der Diagonalelemente hat für Tensoren, also wenn die Matrix da ein Tensor ist,

einen speziellen Namen, das müssen Sie sich nicht merken, das ist die Spur des Spannungstensors und

das ist die erste sogenannte Invariante, das ist nur als Nebeninformation, Sie müssen sich

bloß merken, dass das gilt hier, dass das ein spezielles Objekt für so ein Tensor ist,

ist jetzt bloß Nebeninformation, ich hatte ja gesagt, ein Tensor ist eine spezielle Matrix,

die hat besondere Eigenschaften, nämlich insbesondere unter Koordinatentransformation.