Gut, fangen wir an. Wir hatten letztes Mal, nachdem wir diese sehr alten klassischen Verfahren gesehen hatten,

wie Jakobi-Verfahren, wie Gauss-Seidel-Verfahren zum ersten Mal ein Verfahren des 20. Jahrhunderts

kennengelernt, immerhin in Form des SOR-Verfahrens. Und weshalb dieses Verfahren jetzt schon ein

Fortschritt ist, der aber immer noch nicht ausreichend ist, habe ich versucht, Ihnen anhand

eines Beispiels klarzumachen, was jetzt dann heute etwas ausgebaut werden wird, zu dem Beispiel,

was Sie schon auf der Übungsaufgabe kennen, in Form der Programmieraufgabe kennengelernt haben.

Die einfache Version, für die man noch überhaupt keine iterativen Verfahren braucht, ist eine

Matrix dieser einfachen Tri-Diagonalgestalt mit 2 auf der Diagonal und minus 1 auf der

Nebendiagonal und wir hatten letztes Mal oder schon vorletztes Mal gesehen, dass diese Matrix entsteht,

dadurch, wenn ich eine einfache Randwertaufgabe dieser Gestalt hernehme, wo ist sie jetzt noch mal,

dieser Gestalt hernehme, minus 2o Strich gleich F in einer vorgegebenen verteilten Quelldichte F,

mit vorgegebenen Werten, die ich hier auf Null normieren kann, am Rand des Intervalls,

wenn ich mir vorstelle, ich kann das nicht geschlossen lösen, was ich in dieser einfachen

Form natürlich noch kann, sondern das dadurch approximieren möchte, indem ich, was man dann

Gitterfunktionen nennt, also diskrete, Tupel von diskreten Werten als Näherung für diese Funktionswerte

mir verschaffen will und zwar mit Hilfe eines Gleichungssystems, das dadurch entsteht, dass

ich die Ableitungen durch Differenzen, die zweite Ableitung durch einen zweiten Differenzenquotient

ersetze, dann komme ich gerade auf ein Gleichungssystem dieser Gestalt. Genauer gesagt ist die Matrix,

die ich dann erhalte, 1 durch h², wobei h die Schrittweite zwischen den Gitterpunkten ist,

also in dem Falle sich verhält wie 1 durch N, wenn N minus 1 genauer gesagt die Dimension

des entstehenden Systems ist und mit einer rechten Seite, die aus dieser verteilten Quelle F dann

herrührt. Wir hatten dann einerseits verglichen sozusagen auf der kontinuierlichen Ebene

Eigenfunktionen, Eigenwerte für die Randwertaufgabe hatten gesehen, dass die Eigenfunktionen dort

sowas wie immer höherfrequente Sinusschwingungen sind und dass die Eigenwerte eben dann natürlich

abhängig vom Intervall, aber wenn das auf 0 Pi normiert ist, sich so verhalten wie n².

So, jetzt haben wir sozusagen unseren diskreten Fall auch in der Hinsicht mal angeschaut, weil

das ja die Information ist, die wir brauchen, um sowas wie den Spektralradius der Iterationsmatrix

auszurechnen und da habe ich gesagt, okay, die Eigenvektoren sind einfach die Eigenfunktionen

an den Gitterpunkten genommen und die Eigenwerte dazu, das ist dieser Ausdruck 2 mal 1 minus

cosinus k durch n mal Pi und an der Stelle habe ich etwas gestockt, dann bin ich weitergegangen

und keiner von ihnen hat es anscheinend gestört, dass ich gestockt habe und sie waren damit ganz

einverstanden, dass das so ist. Irgendwie komisch, Eigenwerte hier, das läuft also zwischen,

die Klammer läuft zwischen 0 und 1 minus minus 1, 2 und vorhin habe ich irgendwas gesagt von

Eigenwerten, die sich wie n² verhalten. Haben denn die Eigenwerte der Abroximation überhaupt

nichts zu tun mit den Eigenwerten des kontinuierlichen Problems? Irgendwie komisch,

oder? Würde man doch erwarten, dass die doch vielleicht dafür, dass man sowas ähnliches

auch da wie Konvergenz hat. Wo ist der Punkt? Was schauen wir uns hier an? Hier schauen wir uns

diese Matrix hier an. Die Abroximation war aber diese Matrix. Also was muss ich jetzt noch

berücksichtigen, wenn ich die Zahlen miteinander vergleichen will? Also anscheinend brauche ich

die Eigenwerte, wenn ich das vergleichen will, wenn ich das kontinuierliche mit dem diskreten

vergleichen will, brauche ich anscheinend die Eigenwerte dieser Matrix. Und wie verhalten die sich?

Also h², 1 durch h² ist n² durch b minus a. Und hier sind die Eigenwerte von a. Das heißt,

also die muss ich mit diesem Faktor multiplizieren, dann habe ich tatsächlich etwas, was ich so,

es ist nicht exakt n², kann ich auch nicht erwarten, aber etwas, wenn man es genau anschaut,

tatsächlich gegen die exakten Werte konvergiert. Also das muss man ein kleines bisschen da

berücksichtigen, ob man diesen Faktor 1 durch h² im System mit drin hat oder nicht mit drin hat.

Wenn man ihn mit drin hat, ist das wiederum Geschmackssache, wo man ihn hat. Ich persönlich

würde es dann für sinnvoll erhalten, ihn jetzt nicht auf der Matrix-Seite zu lassen,

sondern ich würde ihn in die rechte Seite rübernehmen. Aber gut. Sollte aber an der Stabilität

und so weiter des Verfahrens also nichts ausmachen. Gut, also diese Zahlen hatten wir uns alle angeschaut.