Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Gut, fangen wir an. Wir hatten letztes Mal uns mit diesem Beispiel hier beschäftigt, was sehr, sehr einfach aussieht.

Zwei auf der Diagonale, minus eins auf den beiden Nebendiagonalen, eine Tri-Diagonalmatrix mit einem vollbesetzten Band.

Viel einfacher und schöner kann man sich es nicht vorstellen. Das ist eine nicht nur symmetrische, sondern auch positiv definite Matrix,

die in sehr verschiedenem Kontext entstehen kann.

In der Linnan-Algebra hatte ich mal darauf hingewiesen, dass diese Matrix entsteht, wenn man als diskretes Modell

eine durch Federn verbundene Punktmassen zugrunde legt und eben die,

die sich einstellende statische Situation zu beschreiben als Folge des Zusammenspiels der von außen einwirkenden und inneren Kräfte.

Wobei die von außen einwirkenden Kräfte mindestens oder zum Beispiel die Gravitationskraft sein kann.

Dann hätte man also von vornherein sozusagen ein diskretes Modell und man hätte hier so viel die Dimension,

wie die Anzahl der Federn oder die Anzahl der Punktmassen, je nachdem, wie man zählt.

Also, was wir uns jetzt mal angeschaut haben, ist das solche, so ein diskretes Modell,

was wir eben im einfachsten Fall, wenn es linear ist, in Form eines linearen Gleichungssystems schreiben können.

Dass so ein diskretes Modell durchaus entstehen kann aus der Diskretisierung eines kontinuierlichen Modells.

Und dann wird man erwarten, dass man eben sehr, sehr viele diskrete Freiheitsgrad,

natürlich abhängig von der Kompliziertheit der Situation, viele diskrete Freiheitsgrade braucht,

um die kontinuierliche Situation zu beschreiben.

Das heißt, die Gleichungssysteme sollten wir uns typischerweise als sehr, sehr groß vorstellen.

So, was bedeutet das jetzt?

Groß könnte eben sein, vielleicht in dem Kontext, wo jetzt dieses einfache Differenzallgleichungssystem

eine wiederum sehr einfache Randwertaufgabe beschreibt, an der eigentlich auch nicht viel Schwieriges ist.

Das ist wie bei meinem alten Herd, der ist ungefähr 20 Jahre alt, war eine der ersten Glaskeramikherde,

die auch so mit der Touch funktionieren.

Da ist es auch immer sehr zweifelhaft, ob ich die Platte ankriege oder, falls es noch schlimmer ist, ob ich sie wieder auskriege.

Okay, wir haben ja wenigstens einen.

Gut, also, wir haben gesehen, wenn wir diese Gleichung hier, die sehr, sehr einfach ist und die man verstehen kann,

als ein sehr einfaches Modell in einer Raumdimension, das heißt, alle anderen Raumdimensionen sind homogen

bezüglich dieses Prozesses, als das stationäre Bild einer nur sich sozusagen unter Diffusion

und einer äußeren Quelle F verändernden Wärmeverteilung, dann kann man auf dieses Modell herkommen,

wobei diese Randbedingungen etwas erzwungen sind, aber man kann sie vielleicht etwas sinnvoller interpretieren,

wenn man sagt, das ist nicht nullgemein, sondern es ist irgendein fest vorgegebener Wert, sagen wir mal, an den Außenpunkten einer Wand,

die wir eben nur orthogonal anschauen und vorgegeben, und dann sieht man, wenn man diese beiden vorgegebenen Werte

durch eine lineare Funktion verbindet und U transformiert um diese lineare Funktion, ändert sich an der Differentialgleichung nichts.

Perspektive, wenn sie halt komplizierter wäre, wenn hier etwas komplizierteres als die zweite Ableitung stünde,

würde eben noch ein etwas anderer Quellterm hier entstehen. Also das ist in diesem Sinne zu interpretieren,

man muss das interpretieren als feste Vorgabe der Außentemperaturen, wenn man das ganze als Intervall A, B als eine Wand auffasst.

Man kann das jetzt, wie wir gesehen haben, diskretisieren, indem man einfach sagt, nun gut, ich habe nur endlich viele Gitterpunkte,

an diesen Gitterpunkten ersetze ich die zweite Ableitung durch einen Differenzenquotienten, in dem auch nur Werte an den Gitterpunkten vorkommen,

das ist nicht exakt, es sei denn eben, ich habe eine lineare Funktion, das Lösungsprofil wird hier eben nicht linear sein,

da hindern schon die Randbedingungen daran, die Differentialgleichung wäre, wenn f gleich Null ist, recht zufrieden mit einer linearen Funktion,

wenn f ungleich Null ist, wiederum nicht, aber die Randbedingungen sorgen dafür, dass es doch ein bisschen komplexer ist,

das heißt also macht hier einen Fehler, wenn man diesen Fehler ignoriert, aber hofft, das kann man auch quantifizieren,

dass der Fehler klein ist, wenn eben diese Schrittweite zwischen den Punkten klein ist, sprich, wenn wir also viele Diskretisierungspunkte nehmen,

dann langen wir bei einem linearen Gleichungssystem an, was bis auf den Faktor 1 durch h², der also jetzt sowohl auf das Lösen,

als auch auf die Kondition dieses Problems natürlich keinen Einfluss hat, genau diesem Gleichungssystem mit den 2 und dem minus 1 entspricht.

So, jetzt schauen wir uns mal an, was das jetzt bedeutet, jetzt ist also die Vorstellung, wir wollen das lösen,

aber eben nicht für N gleich 10, sondern vielleicht N gleich 100, 1000 und wenn die Differenz-Jagdgleichung etwas komplizierter wird,

das könnte man schon allein dadurch gestalten, dass man eben sagt, nun gut, was ich hier habe, gehen wir nochmal zurück,

was jetzt auch sozusagen in einer Normierung zum Opfer gefallen ist, ist ein konstanter Wärmeleitkoeffizient,

aber tatsächlich ist mein Material ja aus mehreren Schichten aufgebaut, mit verschiedenen Wärmeleitkoeffizienten,