Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Der Leitfaden ist für alles weitere, Matrizen sind nicht einfach nur irgendwelche Zahlenchemata,

Matrizen sind Darstellungen linearer Abbildungen als Darstellungsmatrizen.

Das wird die Leitlinie sein. Das heißt, es geht auf der einen Seite um Operationen zwischen linearen Abbildungen,

zwischen Homomorphismen und in ihrer konkreten Darstellung dann über Matrizen.

Also, wenn wir jetzt folgende Situation uns anschauen, wir haben drei reelle Vektorräume, u, v, w.

Wir haben eine lineare Abbildung von u nach v, die nennen wir phi, wir haben eine von v nach w, die nennen wir psi.

Dann können wir erst einmal die Abbildung psi kringle v, das heißt, psi kringle phi, das heißt, die Komposition aus diesen beiden Abbildungen bilden.

Das ist wiederum eine Abbildung, aber das ist nicht irgendeine Abbildung, das ist eine lineare Abbildung.

Das kann man also sofort nachvollziehen. Wir müssen also schauen, wie sich diese Komposition mit einer Linearkombination verträgt.

Psi kringle phi ist aber erst phi auf dieses Argument anwenden und auf das Ergebnis dann psi anwenden.

Hier in der inneren Klammer kann ich jetzt die Linearität von phi ausnutzen, das heißt, dass phi sozusagen durch die Linearkombination durchzieht.

Jetzt habe ich hier wieder eine Linearkombination von Vektoren.

Mittlerweile bin ich in v angelangt, hier war ich noch in u, jetzt bin ich in v angelangt.

Jetzt geht es wiederum, weil das psi-Linear ist, ich kann das psi durchziehen und dann bin ich schließlich auf diesem Level angelangt.

Das heißt, hier steht jetzt wieder die Komposition, also entweder müsste jetzt hier noch ein Kringel dazwischen stehen oder es müssten hier noch mal klammern, hier rumstehen.

Ich bin also jetzt wiederum bei der Abbildung angelangt, ich mir anschaue und sehe also in der Summe auch die Komposition von linearen Abbildungen ist eine lineare Abbildung.

Im Allgemeinen wechseln ja hier dann die Räume, sie müssen nur eben entsprechend zusammen passen.

Es geht von u nach v, von v nach w.

Nun ist es, diese Räume dürfen auch, das was wir jetzt hier überlegt haben ist völlig dimensionsunabhängig, geht auch im unendlich Dimensionalen.

Wenn wir uns jetzt wieder auf endlich dimensionale Vektorräume zurückziehen, sagen wir, wir haben hier die Dimension,

wir haben hier die Dimension n, wir haben hier die Dimension m, wir haben hier die Dimension l, dann sehen wir,

erst einmal wir haben hier eine Darstellungsmatrix, das ist eine Matrix, die hat eine entsprechende Dimensionierung.

Wir haben hier eine Darstellungsmatrix mit der entsprechenden Dimensionierung, aber auch die Komposition hat ja dann eine Darstellungsmatrix für die einmal fest gewählten Basen.

Das heißt wir wählen drei Basen fest, eine in u, eine in v, eine in w, die in u und v ist verantwortlich für das phi,

die in v und w verantwortlich für das psi und für die Komposition dann entsprechend die erste und die dritte.

Und auch da haben wir eine Darstellungsmatrix und wir fragen uns jetzt, wie hängt diese Darstellungsmatrix mit den anderen zusammen?

Und das gibt dann das Matrixprodukt. Die Aussage ist die folgende, das werden wir als erstes mal, wenn ich also wiederum diese Konstellation hernehme,

ich habe jetzt eine Basis B1 mit n Elementen von u, eine Basis B2 mit m Elementen von v und schließlich eine Basis B3 mit l Elementen von w.

Wie gesagt, dann haben wir für die Abbildung phi von u nach v, also von einem n-dimensionalen Raum in einem m-dimensionalen Raum

haben wir eine Darstellungsmatrix bezüglich dieser Basen, die eine mn-Matrix ist. N Spalten, m Zeilen.

Für das psi haben wir eine Darstellungsmatrix jetzt in den Basen B2, B3. Da geht es vom m-dimensional ins l-dimensionale.

Dementsprechend hat diese Matrix l Zeilen und m Spalten. Wir sehen also, wenn wir diese Matrizen sozusagen so nebeneinander schreiben würden,

a b, dann passt das mit der Dimensionierung zusammen. Dann würde die Dimensionierung l m m n nebeneinander stehen.

Und in dieser Situation, das können wir eben dann zum Anlassen allgemein in der Situation das Matrixprodukt einzuführen,

können wir jetzt die Darstellungsmatrix für die Komposition ausrechnen, jetzt bezüglich der Basen B1 und B3.

Das ist jetzt eine Matrix mit l Zeilen und n Spalten. Und die berechnet sich auf genau diese Art und Weise. Das ist die Behauptung.

Das heißt, das Lambda-Nüte-Element bekomme ich dadurch, indem ich die Lambda-arte Zeile hernehme,

über diese Lambda-arte Zeile die Nüte-Spalte von a, die Nüte-Spalte von b drüberlege, aufmultipliziere und dann aufsummiere.

Das heißt, wenn man genau hinschaut, was wir hier bilden, ist ein euklidisches Skalarprodukt, eben aus dem Zeilenvektor als Spalte aufgefasst

und dem betreffenden Spaltenvektor. Und dieser Eintrag ergibt dann den Eintrag der Darstellungsmatrix. Das ist die Behauptung.

Okay, da wollen wir jetzt mal als erstes nachvollziehen, dass das stimmt, was da steht.

Also, das ist jetzt einfach runterrechnen, was da passiert. Also, ich habe diese drei Basen. Ich wiederhole jetzt nicht die Notation und ich schaue mir an,

was macht phi auf dem Basis-Element u nü. Jetzt kommt also die Darstellungsmatrix b ins Spiel. Die sagt mir, die betreffende Nüte-Spalte von b,

also jetzt mein Index, über den ich hier zu summieren habe, das gibt mir die Darstellung bezüglich der V-Basis hier im Bildraum.

Also, das, was hier steht, ist einfach die Definition der Darstellungsmatrix b. Genauso schreiben wir jetzt mal für die nächste Abbildung hin.

Was ist denn das Bild unter psi von dem Basis-Element v nü? Und da ist wieder die gleiche Geschichte. Da kommt die Matrix a ins Spiel.

Ich muss die Nüte-Spalte nehmen, deswegen jetzt hier über die Lambdas, das wird jetzt richtig schön griechisch, über die Lambdas addieren.

Und hier habe ich dann dementsprechend die V-Basis zu nehmen. Also diese Beziehung, wie ich sie hingeschrieben habe, ist einfach noch mal anders hingeschrieben.

Dies ist der Zusammenhang zwischen linearer Abbildung, zwischen Homomorphismus und Darstellungsmatrix bei diesen festgewählten Basen.