Ich darf mich kurz vorstellen, mein Name ist Fabian Rüffler, ich bin Doktorand am Lehrstuhl

für Angewandte Mathematik II und vertrete heute den Professor Gugard, der leider nicht

da sein kann.

Wir fangen heute ein neues Thema an und zwar die reellen Funktionen mehr oder veränderlicher.

Ich genauer征me viele

Hier das von der Schriftgröße her, zu klein, zu groß?

Also zu groß.

Ja, bisher war es ja immer so, wenn man reelle Funktionen angeschaut hat, das lief immer so ab, dass man sich eine Zahl vorgegeben hat, ein x,

und was hat man dann berechnet? x², sin x, 1 durch x, also man hat immer eine Zahl reingesteckt und hat auch immer eine Zahl rausbekommen.

Aber wie schon das einfache Beispiel der Addition zeigt, man nimmt zwei Zahlen, a und b, und kriegt daraus die Summe von a und b, also a plus b,

ist der naheliegendere Fall, oder die nächste Verallgemeinerung, dass man Funktionen ansieht, die mehr als ein Argument haben, eben mehrere veränderliche.

Das heißt, was wir betrachten wollen,

was wir nun betrachten wollen, sind Funktionen, die mehrere Argumente haben, oder insgesamt, wenn man das Argument wieder zu einem ganzen Vektor zusammenfasst, Funktionen, die vom R hoch N abbilden.

Was wir jetzt hier wieder betreiben wollen, ist wieder die typische Analysis, die man sich schon für Funktionen von einem Argument gemacht hat.

Das heißt, wir wollen im Laufe der Vorlesung heute wieder die Konvergenz definieren, dazu brauchen wir wieder Folgen, und dafür müssen wir erstmal untersuchen, welche Eigenschaften Mengen im R hoch N eigentlich haben.

Zum nächsten Mal haben wir auf solchen Vektoren im R hoch N eine Norm und ein Skalarprodukt definiert, die gewisse Eigenschaften haben, die wir auch für die Konvergenz später brauchen.

Das heißt, angenommen, wir haben so einen Vektor X aus dem R hoch N, der sieht also so aus, dass wir haben, X ist ein Vektor mit den Komponenten X1, X2 und so weiter bis XN.

Wir haben darauf eine Norm definiert, die euklidische Norm.

Es gibt noch andere Normen, aber das ist die naheliegendste, vom geometrischen Standpunkt aus.

Deshalb zeichnen wir diese Norm des Vektors, was die Länge im geometrischen Sinne sein soll, mit einem Doppelstrich auf beiden Seiten und definieren das Ganze über die Wurzel von X1² plus X2² und so weiter bis XN².

Warum sollten wir das genauso machen? Na ja, was soll die euklidische Norm darstellen?

Man hat sich das so vorzustellen, etwa im R hoch 2, für alle anderen größeren Räume wird es ein bisschen schwierig zu zeichnen, haben wir zwei Achsen, X1 und X2 und für einen Vektor X, der in diesem Punkt zeigt, wäre die Norm von X die Länge dieses Pfeils hier.

Wie würden wir die Länge dieses Pfeils berechnen? Dadurch ergibt sich die Formel im Allgemeinen.

Eigentlich steckt dahinter nur der Satz des Pythagoras, wir haben hier, wenn wir das Ganze mit einer gestrichelten Linie mit der Achse verbinden, ein rechtwinkliges Dreieck, hier ist der rechte Winkel und rechts, und wir haben die Komponenten X1, das ist der Rechtswert und X2, das ist der Hochwert dieses Pfeils.

Und wir kriegen diese Norm, also diese Länge, einfach indem wir den Satz des Pythagoras anwenden, dabei kriegt man die Hypotenuse, indem man eben gerade die Wurzel bildet aus den Quadraten der anderen beiden Seiten.

Damit man das als Norm bezeichnen kann, gibt es so typische Eigenschaften, die das Ganze erfüllen muss, die können wir auch mal aufzählen, und zwar, wenn wir uns irgendeine Zahl C heraussuchen und den Vektor X mit C multiplizieren, dann ist die Norm danach genau um den Betrag,

wenn C irgendeine Zahl aus R ist, dann kriegen wir die Norm von dem Vektor X multipliziert mit dieser Zahl C, indem wir die Norm von X nehmen und das Ganze mit dem betrachtet.

Wir können also Skaladevielfache einfach rausziehen, das heißt, wenn hier eine konstante C drin steht, dann können wir die als Betrag von C multiplizieren, und das Ganze dann auch mit dem Betrag von C multiplizieren.

Wir können also Skaladevielfache einfach rausziehen, das heißt, wenn hier eine konstante C drin steht, dann können wir die als Betrag vor die Norm schreiben.

Das leuchtet auch anhand dieses Bildes ein, wenn die Norm so etwas wie die Länge des Vektors sein soll und die Multiplikation mit einer Zahl C eben gerade die Vervielfachung um diese Zahl C sein soll, dann wird natürlich auch die Länge dementsprechend größer.

Wenn wir den Vektor mit 2 multiplizieren, wird er doppelt so lang und deswegen wird auch diese Norm doppelt so groß als Beispiel.

Eine zweite Eigenschaft, es gibt genau einen Vektor, der die Norm 0 hat, also die Länge 0, und das ist der sogenannte Null Vektor.

Hier steht jetzt nur die eine Richtung, aber es gilt natürlich auch umgekehrt, wenn wir das Element x gleich 0 nehmen, dann ist die Norm von x, so wie wir sie hier oben definiert haben, auch 0, weil man dann überall 0 einsetzt.

Und schließlich gilt die Dreiecksungleichung, die sich folgendermaßen liest.

Angenommen wir haben 2 Vektoren x und y und wollen die Norm der Summe davon berechnen, dann ist diese Norm immer kleiner als die Summe der Normen.

Das war egal, wie wir x und y aus R hoch N wählen.

Das kann man sich auch veranschaulichen.

Mal das Bild mal hier auf die rechte Seite, weil da noch Platz ist, also wieder im R2.

Angenommen wir haben 2 Vektoren x und y, x zeigt hier hin und y zeigt hier hin, dann ist die Summe dieser beiden Vektoren derjenige Vektor, der rauskommt, wenn wir den Anfangspunkt von x mit dem Endpunkt von y verbinden,

nachdem wir x und y einander gehängt haben.

Das heißt wir hängen y nochmal an x dran, Verbindung dieser Kette, der Vektor hier ist x plus y.

Jetzt ist die Aussage eigentlich relativ einleuchtend, wenn wir die Länge dieses Vektors x plus y haben, dann muss diese Länge immer kleiner sein, als wenn wir den Umweg gehen über erst x und dann y.

Quasi die lange Seite dieses Dreiecks ist immer kürzer als die Summe der beiden kurzen Seiten.

Es gibt außerdem noch eine weitere Ungleichung, die sogenannte Cauchy-Schwarzungleichung.

Für diese spezielle Norm verbindet die diesen Längenbegriff, also diese Norm, mit einer gewissen Form der Winkelmessung, wenn man so will, und zwar ist das das Skalarprodukt, das wir auch schon kennen.

Und zweilich ist diese Ungleichung wie folgt, wenn wir das Skalarprodukt bilden, zwei Vektoren x und y, das ist ja genau dasselbe als würden wir den transponierten Vektor von x mit y multiplizieren.

So wie wir hier eine Matrix mit y multiplizieren würden, würden wir jetzt hier die transponierte des Vektors x auf y drauf multiplizieren.

Und die eigentliche Aussage dieser Cauchy-Schwarzunggleichung ist, dieses Skalarprodukt, das hier auf der linken Seite steht, ist auch immer kleiner als die Norm von x multipliziert mit der Norm von y.

Das war egal wie wir x und y wählen.

Ist das soweit klar?