Okay, hallo, guten Morgen allerseits.

Wir haben uns die letzten paar Doppelstunden beschäftigt mit der zweiten Quantisierung

und das war etwas technisch und mühsam, aber dafür haben wir jetzt einiges gewonnen, denn

wir können den Hamilton-Operator praktisch zu einem beliebigen Vielteilchen-System hinschreiben,

ob es sich um Fermionen oder Bosonen handelt, und wir können das in einer besonders effizienten

Sprache machen. Wir können dann auch Operatoren ausrechnen, für die wir uns interessieren,

zum Beispiel die Frage, wie viele Teilchen befinden sich gerade in einem gewissen Einteilchen-Zustand,

also in einem gewissen Orbital, dann würden wir eben a-Kreuz-a ausrechnen oder den Erwartungswert

von a-Kreuz-a. Und ein Gewinn bei der ganzen Geschichte ist nicht nur, dass wir den Hamilton-Operator

ziemlich effizient hinschreiben können, in dem Sinne zum Beispiel, dass wir gar nicht

mehr wissen müssen, wie viele Teilchen das sind, und in dem Sinne, dass wir auch schon

berücksichtigt haben, ob es automatisch Boson oder Fermion sind. Sondern ein großer Vorteil

ist der folgende. In der Physik möchte man manchmal gar nicht das volle komplizierte

mikroskopische Modell lösen, also zum Beispiel die Elektronen und die Protonen eines Festkörpers,

wie sie sich im freien Raum bewegen und dann miteinander die Coulomb-Anziehung oder respektive

Abstoßung haben. Dafür könnten wir ja schon von Anfang an die Vielteilchen Schrödinger

Gleichung hinschreiben für die gemeinsame Wellenfunktion, sagen wir alle Elektronen,

die eine Funktion Ψ von x1, x2, x3 und so weiter ist. Aber das ist unter Umständen

viel zu kompliziert, sondern eine Idee, eine wichtige Idee in der Physik ist, sich zu konzentrieren

auf die wesentlichen Zutaten in irgendeiner physikalischen Situation. Zum Beispiel im

Festkörper könnte jemand auf die Idee kommen zu sagen, bei jedem Atom habe ich etliche

innere Schalen, die sind immer von Elektronen besetzt und die Besetzung ändert sich auch

nicht und die sind sozusagen inert, da tut sich gar nichts. Das heißt, die brauche ich

nicht wirklich berücksichtigen. Die tragen vielleicht zur Ladungsdichte bei, aber das

ist fest. Und es gibt natürlich auch sehr viele höhere Schalen, die für immer unbesetzt

bleiben werden und die sind mir auch nicht wichtig. Sondern was mir wichtig sind, sind

die Orbitale, die manchmal von Elektronen besetzt sind und manchmal nicht besetzt. Und

dann bewegt sich ein Elektron, sagen wir, von dem Orbital auf einem Atom zu einem Orbital

auf dem Nachbaratom. Das sind die, um die ich mich kümmern sollte. Und dann hat man

schnell die Vorstellung, man sollte von jedem Atom in dem Kristallgitter vielleicht nur

ein Elektronenorbital mitnehmen oder mehrere, je nach Situation. Und man sollte dann nur

berücksichtigen die Tatsache, dass die Elektronen zwischen den einzelnen Orbitalen tunneln können,

von Atom zu Atom. So bewegen sie sich durch den Kristallgitter. Und wenn zwei Elektronen

beispielsweise gleichzeitig auf einem Orbital sind oder auf benachbarten Orbitalen, dann

können sie miteinander wechselwirken. Dann spüren sie die Coulomb-Wechselwirkung. Das

wären so die elementaren Zutaten, die man im Kopf haben könnte. Und gerade da ist die

zweite Quantisierung besonders hilfreich, weil ich kann mich dann konzentrieren auf

diese wenigen Orbitale und ich kann dann reden von der Besetzung eines jeden Orbitals. Also

sind da gerade null Elektronen oder ein Elektron auf einem gegebenen Orbital. Und dafür ist

die zweite Quantisierung hervorragend geeignet. Und das führt jetzt das nächste Kapitel

ein. Im nächsten Kapitel möchte ich nämlich das allerberühmteste aller Modellsysteme

diskutieren, die es in der Vielteilchenphysik gibt. Und das ist das sogenannte Hubbard-Modell.

Das Hubbard-Modell sagt gerade das, was ich eben erklärt habe. Das heißt, man stellt

sich vor an Gitter von Orbitalen, die dann von Teilchen besetzt sein können und wo die

Teilchen zwischen den einzelnen Orbitalen hin und her tunneln und sich damit bewegen

und wo sie auch miteinander wechselwirken, wenn sie auf demselben Orbital sich befinden.

Und das Modell ist zum ersten Mal vor, weiß nicht, 40 Jahren oder so eingeführt worden,

um tatsächlich Elektronen in Kristallen zu beschreiben. Und Elektronen sind Fermionen

natürlich. Aber es kann auch verwendet werden, um beispielsweise bosonische Teilchen zu beschreiben.

Und für bosonische Teilchen ist die Sache sogar noch ein bisschen einfacher. Und deswegen