Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. In der letzten Vorlesung haben wir den Begriff der ähnlichen Matrizen eingeführt.

Zwei Matrizen B und A heißen ähnlich, wenn das beides quadratische Matrizen sind und es

eine Transformationsmatrix T gibt, die invertierbar ist, sodass man schreiben kann B ist gleich T hoch

minus eins A T. Dann sind die Matrizen A und B ähnlich und wir haben schon gezeigt, dass

ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben. Jetzt betrachten wir nun spezielle Klassen von

Matrizen und zeigen, dass alle Matrizen diesen Matrizen ähnlich sind, insbesondere betrachten

wir Dreiecksmatrizen. Sie kennen ja schon Dreiecksmatrizen aus dem Raus-Algorithmus,

also da ist ja das Ziel die Matrix zu transformieren, sodass man so eine Dreiecksmatrix

bekommt und tatsächlich sind alle Matrizen einer Dreiecksmatrix ähnlich. Wir definieren

Dreiecksmatrizen noch mal formal. Eine Matrix A gleich A ik, das sind die Matrixeinträge aus C

n Kreuz n heißt obere bzw. untere Dreiecksmatrix.

Wenn viele Koeffizienten verschwinden und zwar alle die unterhalb der Hauptdiagonalen,

also A ik dieser Matrixeintrag ist dann gleich Null für i größer k, also wenn der Zahl den

Index größer ist als der Spaltenindex ist, dann ist man ja unterhalb der Hauptdiagonalen,

das ist dann bei den oberen Dreiecksmatrizen und bei den unteren Dreiecksmatrizen da ist das für i

kleiner k, also wenn das gilt. Das Bild dazu kennen sie ja schon, also in 3 Kreuz 3,

Fall sieht es so aus, auf der Diagonalen kann da immer irgendwas stehen und bei der unteren

Dreiecksmatrix eben auch oberhalb der Diagonalen, aber unterhalb der Hauptdiagonalen dürfen nur

diese Nullen stehen, das ist dann eine obere Dreiecksmatrix. Wenn eine Matrix eine

Obermaat Dreiecksmatrix und eine untere Dreiecksmatrix ist, dann dürfen nur noch auf der Diagonalen

Einträge stehen, die ungleich Null sind und so eine Matrix nennt man dann eine Diagonalmatrix.

Also A heißt Diagonalmatrix.

Falls a i k gleich Null für alle i ungleich k gilt. Das sieht also so aus, wir haben wieder diese

Einträge, aber diesmal nur auf der Hauptdiagonalen und sonst sind nur Null Einträge in der Matrix,

also so sieht eine 3 Kreuz 3 Diagonalmatrix aus. Wir interessieren uns ja oft für die Eigenwerte

von Matrizen und bei den Dreiecksmatrizen sind die Eigenwerte besonders einfach zu bestimmen,

bei so einer Dreiecksmatrix sind die Eigenwerte nämlich einfach die Diagonalelemente,

die kann man direkt ablesen die Eigenwerte. Die Eigenwerte von Dreiecksmatrizen sind leicht zu

bestimmen, das gilt. Folgender Satz, die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind die Elemente auf der

Hauptdiagonalen. Satz, die Eigenwerte.

Sind die Elemente ihrer Hauptdiagonale.

Also die Einträge auf der Diagonale sind direkt auch die Eigenwerte und das kann man leicht sehen,

indem man einfach das charakteristische Polynom betrachtet. Beweis, wir nehmen die

Dreiecksmatrix her und wollen das charakteristische Polynom dazu berechnen. Das charakteristische

Polynom von A ist, wie wir ja wissen, nach Definition, P A von lambda, ist die Determinante von lambda mal

Einheitsmatrix minus Matrix A und da können wir jetzt unsere Dreiecksmatrix einsetzen und erhalten

eine Determinante der Form lambda minus A 11, dann lambda minus A 22 und so weiter bis lambda

minus A n n. Das sind die Diagonalelemente. Hier unterhalb der Diagonalen stehen lauter Nullen,

das deut ich mit dieser großen Null an. Also das heißt, hier unterhalb der Hauptdiagonalen sind

nur Nullen und hier sind irgendwelche anderen Einträge. Aber wenn man jetzt die Determinante

ausrechnet, kann man ja, wie wir es auch definiert haben, nach der ersten Spalte entwickeln. Da ist

nur ein Eintrag ungleich Null, also bekommen wir lambda minus A 11 als einen Faktor. Eben charakteristisch

ein Polynom und die Streichungsmatrix hat die gleiche Struktur. Die können wir auch wieder nach

der ersten Spalte entwickeln und so kriegen wir nach und nach einfach nur das Produkt dieser

Faktoren auf der Hauptdiagonale als charakteristisches Polynom der Dreiecksmatrix. Und da kann man ja die

Nullstellen direkt ablesen. Also wir erhalten durch Berechnung der Determinante das charakteristische

Polynom lambda minus A 11 mal lambda minus A 22 und so weiter mal lambda minus A n n. Und die

Nullstellen sind ja gerade die Elemente auf der Hauptdiagonalen und damit ist der Beweis schon

fertig. Es gilt jetzt ein schöner Satz, der Satz von Schur, dass jede Matrix einer Dreiecksmatrix