Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, hallo zusammen, dann können wir ja beginnen. Wir sind gerade mitten in dem Kapitel über

Eigenwert und Eigenvektoren. Quadratische Matrizen, also zum Beispiel eine reelle N-Kreuz-N-Matrix,

haben Eigenwerte und diese Eigenwerte sind definiert durch die Eigenwertgleichung.

A multipliziert mit einem Eigenvektor x ist das gleiche wie die Zahl lambda multipliziert mit dem

Vektor x und x muss dabei ungleich 0 sein. Wenn diese Eigenwertgleichung gilt, ist lambda ein

Eigenwert der Matrix und x ist ein Eigenvektor dieser Matrix. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Diese Gleichung kann man auch anders schreiben als lambda mal Einheitsmatrix minus Matrix A mal x ist

gleich 0. Indem man hier die Einheitsmatrix noch einschmuggelt, dann hat man lambda mal Einheitsmatrix

mal x, das ist ja das gleiche wie lambda mal x und dadurch bekommt man hier eine Matrix, die von

diesem Parameter lambda abhängt und die Eigenwerte lambda sind gerade die Werte für die diese Matrix

lambda mal I minus A singulär wird, also Determinante 0 hat. Also für die Eigenwerte gilt der Kern von

lambda mal I minus A ist ungleich dem trivialen Kern und weil das so ist, verschwindet für diese

Eigenwerte die Determinante von lambda mal I minus A. Die Eigenwerte sind also die Nullstellen

der Determinante hiervon und deshalb definiert man die Determinante von lambda I minus A als das

charakteristische Polynom der Matrix A. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen

Polynoms. P A von lambda ist die Notation dafür, das ist die Determinante von lambda mal der

Einheitsmatrix minus A. Die Determinante erhält man ja hier durch Multiplikation und Addition und die

höchste Potenz von lambda, die dabei vorkommt, ist lambda hoch N. Das ist also ein Polynom von Grad N

in lambda und in der letzten Vorlesung haben wir den Fundamentalsatz der Algebra auch gesehen und

der besagt, dass so ein Polynom von Grad N zerfällt und zwar in N Linearfaktoren und deshalb hat man

hier auch N Nullstellen für solche eine Matrix A. Dabei zählt man die Eigenwerte, die Nullstellen

allerdings mit der Vielfachheit. Das heißt, es könnte zum Beispiel sein, dass das charakteristische

Polynom einfach lambda hoch N ist, dann hat man nur die Nullstelle Null, die kommt aber N mal vor.

Also A hat N Eigenwerte mit Vielfachheit lambda und die sind im Allgemeinen komplexe Zahlen,

auch wenn die Matrix reell ist, gibt es oft den Fall, dass hier keine reellen Nullstellen da sind

im charakteristischen Polynom, aber komplexe Nullstellen findet man immer. Dazu gehören dann auch

komplexe Eigenvektoren, um diese Eigenwertgleichung zu erfüllen. Das war die Wiederholung, jetzt betrachten

wir mal eine weitere Beispielmatrix, eine Vierkreuz-Vier-Matrix. A ist gleich 20 8 4 0 in der ersten Zeile

8 20 0 minus 4 in der zweiten Zeile 4 0 20 minus 8 in der dritten Zeile und 0 minus 4 minus 8 und 20

in der letzten Zeile. Also da sehen sie eine auffällige Struktur, die Beträge dieser Einträge

in jeder Zeile, die variieren nicht so stark, da kommt immer als Betrag 4 vor mit einem Vorzeichen

manchmal 8 und 20 und die Null. Also das ist in allen Zeilen das gleiche und das erlaubt uns hier die

Eigenvektoren direkt zu bestimmen oder zu raten. Erst mal die Beobachtung, in jeder Zeile haben wir

eine Null, plus oder minus 4, plus oder minus 8 und plus oder minus 20. Die Vorzeichen, die sind

verschieden verteilt und jetzt können wir versuchen aus dieser 20 der 8 und die 4 Summen zu basteln,

so dass bei der Multiplikation mit so einem Vorzeichenvektor immer das gleiche Ergebnis

herauskommt. Also das ist die Strategie Eigenvektoren raten, das funktioniert manchmal. Also zum Beispiel

können wir folgendes probieren, a und jetzt muss unser Vektor kommen, die erste Komponente können

wir immer auf 1 normieren und dann kommt da eine 20 vor, eine 8 und eine 4, das kriegen wir aus

diesen ersten Einträgen in der ersten Spalte und jetzt setzen wir einfach die restlichen Einträge

minus 1 und berechnen was da rauskommt. Hier kriegen wir 20 minus 8 minus 4 und in der zweiten

Zeile kriegen wir 8 minus 20 und dann plus 4, in der dritten Zeile 4 minus 20 plus 8 und in der

letzten Zeile 4 plus 8 minus 20 und das rechnen wir jetzt aus. Also hier steht 20 minus 12,

das gibt eine 8 und hier steht gerade das Negative davon, also minus 8 und hier auch minus 8 und hier

auch minus 8. Also da sehen wir, da kommt gerade das 8 fache von unserem Vektor heraus, also 8 mal

der Vektor 1 minus 1 minus 1 und minus 1. Hier haben wir in dem Eigenvektor nur Vorzeichen gewählt

und weil die Matrixeinträge also ähnlich sind, kam das jetzt so raus, dass wir damit tatsächlich

ein Vielfaches des Vektors herausbekommen. Das sagt uns jetzt, die Matrix hat den Eigenwert 8,

8 ist also auch eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und hier haben wir auch