Nachdem wir uns im letzten Video nochmal den Begriff der Linearität ins Gedächtnis gerufen

haben und die beiden Dualräume, den algebraischen, topologischen Dualraum diskutiert und voneinander

unterschieden haben, wollen wir jetzt den Begriff der Linearität oder das Konzept von

linearen Abbildungen verallgemeinern auf die sogenannte K-Multi-Linearität.

Und was das ist, das wollen wir uns in der nächsten Definition anschauen.

Also folgende Definition, wir sagen K-Multi-Linear.

Und wir können uns einfach das Ganze so vorstellen, dass man die einfache Linearität jetzt auf

eine Abbildung erweitert, die mehrere Argumente hat.

Das heißt, wir wählen jetzt erstmal ein K, wie in der K-Multi-Linearität.

Das ist eigentlich nur die Anzahl der Argumente, K aus den natürlichen Zahlen und es seien

Vektorräume gegeben, aus denen kommen die Argumente, die nennen wir V i, für i gleich

1 bis klein k und ein Vektorraum W, das ist der Zielvektorraum, in dem wir abbilden, den

nennen wir W.

Das sollen reelle Vektorräume sein.

Dann nennen wir folgende Abbildung K-Linear oder K-Multi-Linear.

Wir nennen eine Abbildung von folgender Gestalt, die nimmt genau K-Argumente aus diesen Vektorräumen

V 1 bis V k und bilden die zusammen ab, diese Argumente nach W.

Das heißt, wir haben jetzt hier eine Abbildung, die nennen wir Phi, die geht von V 1, kathesisches

Produkt bis V k, K-Argumente und bildet ab nach W.

Die nennen wir K-Linear oder K-Multi-Linear.

Ich schreibe das mal mit Klammern.

K-Multi-Linear gibt beide Begriffe in der Literatur.

Falls quasi die Einschränkung dieser Funktion, die K-Argumente hat, auf ein Argument, wenn

wir uns eins rauspicken und wenn die daraus entstehende Abbildung linear ist, das ist

auch schon das ganze Prinzip und das wollen wir so aufschreiben.

Falls alle Zugehörigen, die könnte man partielle Abbildung nennen, nicht verwechseln mit partiellen

Ableitungen, partiellen Abbildungen, sprich, wenn wir uns auf Argumente einschränken, die

wollen wir Phi nennen und zwar für alle Argumente muss das gelten.

Sprich, für i gleich 1 bis K.

Und wie sehen diese Einschränkungen aus?

Naja, da definiert man sich ein Phi der folgenden Gestalt.

Phi bildet jetzt nur ab vom Vektorraum V i nach W und das machen wir, indem wir alle

anderen Argumente festhalten.

Das heißt, wir bilden eigentlich ab ein X auf Phi i von X und das X kommt gerade aus

dem Vektorraum V i und das definieren wir einfach als die Abbildung Phi, diese multilineare

mit festen Argumenten z 1 bis z i minus 1, dann kommt hier das X und dann geht es weiter

mit z i plus 1 bis z k.

Das heißt, wir halten alle anderen Argumente fest und schauen uns nur das i-T-Argument

an.

Ja, und wenn diese Abbildung linear ist, dann ist die gesamte Abbildung multilinear.

Sprich, die Einschränkungen auf die Komponenten müssen linear sein.

Falls alle zugehörigen partiellen Ableitungen linear sind.

Dann eine kurze Notation.

Der Raum der k-linären Abbildungen, der wird notiert als L mit Superindex k, also L hoch

k, die Menge aller k-linären Abbildungen.

Ich werde häufig in der Vorlesung das multilinear ersetzen einfach nur durch k-linier, wird

wie folgt notiert und zwar ist das typischerweise die Menge L hoch k, dann schreibt man die

Eingangsvektorräume auf.

Sprich, V 1 bis k, dann machen wir ein Semikolon und dann ist klar, kommt der Wertebereich,

in dem Fall der Vektorraum W.