So, einen schönen guten Morgen. Auf unserem Terminplan stehen jetzt zuerst die Übungen, Übungsblatt 8.

Also es war nach den invertierbaren, also multiplicativ invertierbaren Elemente in Z21Z,

Z23Z und Z49Z gefragt. Gucken wir also erstmal Z21Z. Ich meine, das war jetzt nur eine Fleißaufgabe,

die musste man so hinschreiben. Invertierbar wissen wir, ist ein Element, falls der GGT von so

einem Element mit diesem Modul 21 gleich 1 ist. Und um die jetzt alle zu suchen, ist es hilfreich,

sich nochmal die Teile von 21 anzuschauen. Das ist 3 mal 7. Das heißt, alle Vielfachen von 3 und 7

fallen schon mal weg. Und dann bleibt natürlich 1 quer übrig, 2 quer, also wir zählen von,

also 0 fällt sowieso weg. Dann von 1 bis 20 und lassen immer die Vielfachen von 3 und 7 weg. Also

2, dann 3 natürlich nicht. 4 ist wieder drin, 5 ist drin, 6 natürlich nicht, 2 mal 3, 7 fällt

weg, 8 ist eine Zweierpotenz, bleibt da, 9 ist 3 mal 3, geht nicht, dann ist aber 10 quer wieder

drin, 11 ist sowieso eine Primzahl, wird GGT mit 21 gleich 1 haben, 12 geht nicht, da steckt die 3

drin, 13 ist eine Primzahl, tut es also, 14 tut es auch, nee 14 tut es nicht, weil es 2 mal 7 ist,

15 ist 3 mal 5, ist die 3 drin, 16 ist eine Zweierpotenz, ist also wieder drin, 17 ist eine

Primzahl, ist also auch drin, 18 ist 2 mal 9, also 3 mal 6, geht nicht, 19 ist eine Primzahl,

ist also drin und 20 ist auch drin, denn die hat ja auch keine, keinen Teiler 3 oder 7. Also da ging

das noch, die nächste die war sehr, ist sehr lang, da kann man sich überlegen ob man das auch kürzer

hinschreiben kann. Dazu überlegt man erst noch mal wieder was ist 63 für eine Zahl, 63 ist 3 mal

21, also 3 und das ist 3 mal 7, also 3 hoch 2 mal 7, ich habe hier einen Tippfehler bei mir, den sehen

Sie nicht, aber sollte ich dann noch mal verbessern. Okay da, also wenn man sich leicht macht, sind dann

die invertierbaren Elemente all die Zahlen von 1, 2 bis 62 ohne die Vielfachen von 3 und 7,

denn 3 und 7 sind die einzigen Primenteiler, die hier drin stecken, also das wäre das einfachste.

Soll ich sie Ihnen auch noch mal auflisten? Ich glaube das ist nicht nötig oder? Ich meine so was

ätzend, das frage ich auch nicht mehr, Klaus, ruhig ab, man muss das ja nur wissen, also das ist eine

ewig lange Liste und ziemlich langweilig, genauso beim 49, also 49z, 49 ist 7 Quadrat, also da hat

man wirklich nur Vielfache von 7, da könnte man das auch so machen, ich nehme alle Zahlen zwischen 1

und 8 und 40 und schreibe jetzt die, die ich rausnehme explizit hin, also 7, also da 49, 7 Quadrate sind

wirklich nur Vielfache von 7, also haben wir 7 und 14 fällt weg und 21 fällt weg und dann haben wir

28 was wegfällt, 35 fällt weg und dann kommt 42, 49 ist sowieso nicht drin. Wäre einfacher

hinzuschreiben als dass ich das positiv ausdrücke, kann man natürlich genauso machen,

also das war einfach, man muss sich das nochmal überlegen, dass die Invertierbaren genau das sind

und sonst nichts weiter hinter. Aufgabe 2, das waren die Inversen zu berechnen, sowas wird es in der

Klausur mit Sicherheit geben, aber sehen sie dann auch in der Probeklausur und man braucht es ja

auch als Hilfsmittel beim euklidischen Algorithmus, äh nicht beim chinesischen Restsatz. Aufgabe 2,

also bei 1 ging es um x 35, das Modul, also ich schreibe es mal so hin, gesucht ist 35 quer hoch

minus 1 in z modulo 41 z, also davon ein Repräsentanten, das habe ich oben genau

hingeschrieben, ich will diesen Standard Repräsentanten haben, der zwischen 1 und 41 liegt.

So was bedeutet das? Also ich schreibe mir, damit ich die richtige lineare deophantische Gleichung

löse, das immer gerne nochmal zu Fuß hin, was das ist, wenn ich das hier suche, heißt das doch,

gesucht ist eine Zahl x, eine ganze Zahl, sodass 35 mal x kongruent 1 modulo 41 ist. Und daraus kann

ich dann äquivalent das als deophantische Gleichung schreiben, dieses Modulo 41 heißt plus oder minus

ein Vielfaches von 41, damit das besser aussieht, schreibe ich das so, also ich bringe dieses

Vielfaches rüber, mache es mit plus, dann habe ich 41 mal y ist gleich 1, das hier soll gelöst werden.

Und dann geht man in dieses Kapitel löse deophantische Gleichung. Was hinterher für y

herauskommt ist egal, das x wird nur das wichtige sein, sodass wir dann mit euklidischem Algorithmus

gemacht, 41 ist die größere Zahl, die stellen wir vorne hin, die wird mit 35 mit Rest geteilt,

das passt natürlich nur einmal rein, plus und der Rest ist 6. Dann nehmen wir die 35 nach vorne,

teilt sie mit Rest durch 6, 35 ist 6 mal 5, da haben wir 30 plus 5, jetzt geht die 6 nach vorne,

man teilt sie mit Rest durch 5, das ist natürlich einmal 5 plus 1 und weil hier die 1 steht,

hört das auf, ich könnte die nächste Zahl noch machen, aber das ist, man kann sich auch so

natürlich merken, hier sieht man auch, dass der ggt von 35 und 41 1 ist, das war die andere Geschichte,