Die folgende Content wurde von der Universität Erlangen-Nürnberg verwendet.

Die Taylor-Entwicklung kann mit mehreren Variablen übertragen.

Die eindimensionale Taylor-Entwicklung ist Ihnen schon vertraut.

Wir haben sogar Taylor-Reihen betrachtet, spezielle Potenz-Reihen.

Nun versuchen wir, das auf den mehrdimensionalen Fall zu übertragen.

Das Thema heißt also Satz von Taylor.

Mehrdimensional.

Sie können natürlich immer eine Funktion durch eine Konstante approximieren.

Dann nehmen Sie irgendeinen Funktionswert.

Dann ist lokal um den Funktionswert eine Näherung, die einigermaßen in Ordnung ist.

Das ist die Taylor-Entwicklung Nullte Ordnung.

Dann gibt es die lineare Approximation.

Das ist die Taylor-Entwicklung Erste Ordnung.

Die steckt schon in der Definition der Ableitung.

Wenn Sie eine Funktion f vom R hoch N nach R haben, die differenzierbar ist,

dann gilt die Funktionswerte f von x sind gleich f von x Null.

Das ist der konstante Anteil.

x Null ist hier der Entwicklungspunkt.

Dann kommt der Gradient NABLA f an der Stelle x Null transponiert mal x minus x Null.

Das ist das Glied der lineare Term.

In der Taylor-Entwicklung Erste Ordnung.

Dann kommt noch ein Rest.

Plus Norm von x minus x Null mal g von x.

Der Witz ist, dass gilt Liemes für x gegen x Null, g von x ist gleich Null.

Die Summe aus f von x Null und diesem linearen Term ist dann die Taylor-Approximation Erste Ordnung.

Bei Eindimensionalen entspricht das dieser Approximation durch die Tangente an den Graphen.

Im mehrdimensionalen Fall können Sie sich das als Approximation durch eine Ebene an so einer gekrümmte Fläche im Raum vorstellen.

Das können wir betrachten als Taylor-Entwicklung Erste Ordnung.

Das funktioniert ganz entsprechend, wenn die Funktion f nicht reellwertig ist, sondern in R hoch M abbildet.

Dann müssen wir nur den Gradienten durch die entsprechende Funktionalmatrix ersetzen.

Das ist etwas allgemeiner.

Wir haben ein Vektorfeld F vom R hoch N in den R hoch M.

Das muss auch wieder differenzierbar sein.

Dann erfolgt für dieses F von x eine ähnliche Entwicklung.

Das ist das große F von x Null.

Dann kommt die Jacobi-Matrix von f an der Stelle x Null mal x minus x Null.

Dann kommt plus Norm von x minus x Null mal eine Funktion groß g von x.

Da gilt auch der Grenzwert für x gegen x Null von groß g von x ist gleich Null.

Hier sind es keine Zahlen, sondern f von x ist ein Vektor im R hoch M.

Hier ist ein Vektorprodukt.

Das ist eine M Kreuz N-Matrix.

Das ist also alles im R hoch M.

Das g von x ist auch R hoch M wertig.

Diese Farbe ist der Taylor-Polygon.

Das ist eine geschweifte Klammer.

Sie kennen ja die Taylor-Polynomen.

Das ist ein Taylor-Polygon vom Grad 1.

Das steht oberhalb der geschweiften Klammer.

Das ist ein Polynom von mehreren Variablen.

Weil wir im R hoch N sind, ist das ein Polynom von N Variablen.