Okay, jetzt wollen wir das also anwenden, speziell auf das Bose-Habbat-Modell als Beispiel.

Ich schreibe nochmal den Hamilton-Operator hin.

Den kennen wir inzwischen. Das ist die kinetische Energie, also das Hüpfen zwischen den Plätzen plus die Wechselwirkungsenergie.

Und die hatten wir jetzt oft geschrieben als N mal N minus eins.

Aber wir erinnern uns an der Stelle nochmal dran, woher das ursprünglich kam.

Wir haben aus der ursprünglichen Art beliebige Wechselwirkungen hinzuschreiben, nämlich etwas von der Art a Kreuz, a Kreuz, a a.

Das ist Äquivalent zu N mal N minus eins.

Okay. Und das Ziel muss jetzt sein, in jedem dieser Terme diesen Ansatz einzusetzen und dann zu sortieren nach der Ordnung in den kleinen Fluktationen.

Es wird Terme geben, die sind von nullter Ordnung in Delta a, welche von erster Ordnung, welche von zweiter Ordnung und so weiter.

Und ich möchte es jetzt einfach vorführen an dem Beispiel von dem Wechselwirkungsterm.

Und damit ich nicht so viel schreiben muss, lasse ich den Index j für den Gitterplatz weg.

Aber natürlich muss das an jedem Gitterplatz gemacht werden.

Also wir überlegen uns jetzt, was ist denn a Kreuz, a Kreuz, a a.

Indem wir einfach den Ansatz einsetzen, alpha plus Abweichung.

Okay. Wie gesagt, die Idee ist zunächst mal zu nehmen die nullte Ordnung in Delta a.

Was bedeutet die Terme, die gar kein Delta a enthalten?

Und das wäre genau ein Term, nämlich alpha Stern, alpha Stern, alpha, alpha.

Mit anderen Worten, Betrag alpha hoch vier.

Das ist die führende Ordnung.

Dann bekommt man Terme, die sind erster Ordnung in einem Delta a.

Das heißt, aus einem von den vier Faktoren nehme ich jeweils ein Delta a oder Delta a Kreuz raus.

Was dann übrig bleibt, sind jeweils die anderen Faktoren von alpha.

Und zum Beispiel, wenn ich mir erlaube, ein Delta a aus dem Letzten zu nehmen,

bekomme ich alpha mal alpha Stern mal alpha Stern.

Das heißt, ich habe immer eine Kombination alpha Stern alpha dabei.

Die kann ich hier vorziehen, das ist Betrag alpha Quadrat.

Und in dem Fall hätte ich dann noch ein zusätzliches alpha Stern kombiniert mit dem Delta a.

Genauso gibt es Terme, wo ich Delta a Kreuz hier vorne raus nehme.

Und dann habe ich aber ein alpha dabei stehen.

Das kommt von hier irgendwo.

Und weiterhin sehe ich, es gibt ja zwei mögliche Klammern, aus denen ich ein Delta a rausziehen kann.

Auch zwei Klammern, aus denen ich ein Delta a Kreuz rausziehen kann.

Das heißt, es gibt immer zwei davon.

Das sind die Terme erster Ordnung.

Wir werden aber am Schluss sehen, die sind automatisch null, wenn man das alpha selber richtig wählt.

So ähnlich wie das immer gilt, wenn ich im Minimum einer Funktion bin, dann verschwindet die erste Ableitung.

Interessant sind die Terme zweiter Ordnung.

Okay.

Das heißt, ich muss aus jeweils zwei Klammern ein Delta a oder Delta a Kreuz rausnehmen.

Und der Rest ist alpha oder alpha Stern.

Schauen wir uns erstmal die Terme an, die uns etwas vertrauter vorkommen.

Das sind die, wo ich ein Delta a Kreuz mit einem Delta a pare.

Und wenn ich das mache, dann bleibt übrig ein alpha Stern und ein alpha.

Das heißt, Betrag alpha Quadrat.

Und wie viele Möglichkeiten gibt es?

Nun, ich könnte dieses Delta a Kreuz hier vorne mit dem oder mit dem paaren.

Oder das zweite Delta a Kreuz auch wieder mit dem oder mit dem.

Es gibt insgesamt vier Möglichkeiten.

Soweit hat es vielleicht noch eine relativ vertraute Struktur, zumindest in Bezug auf den Termen.

Aber es gibt ja auch andere Möglichkeiten.