Wir haben uns momentan viel mit Abständen und Metriken beschäftigt und der Norm. Eine Eigenschaft,

die wir jedoch am Anfang erwähnt haben und noch vollkommen unter den Tisch gekehrt haben,

ist die Möglichkeit Winkel zu messen und dazu möchte ich mit Ihnen noch mal zurückgehen zum

Skalarprodukt. Das war ja das strukturgebende Element des euklidischen Raumes und wir werden

heute sehen in diesem Video, wie das Skalarprodukt uns hilft Winkel zu messen. Dazu fangen wir noch

mal an bei der Cauchy-Schwarzungleichung, die wir zeigen konnten. Ich werde noch mal ganz kurz

die Aussage hier wiederholen. Das heißt die Cauchy-Schwarzungleichung hat uns folgenden

Zusammenhang gegeben. Für zwei Vektoren x und y aus dem Rho n konnten wir zeigen, dass folgende

Ungleichung gilt und zwar dass der Betrag des Skalarproduktes von x mit y immer kleiner

gleich dem Produkt der Normen von x und y ist. Und jetzt kann man sich fragen, was hat das mit

Winkelmessung zu tun? Als allererstes wollen wir mal die rechte Seite uns anschauen und überlegen,

wenn wir die Ungleichung durch die rechte Seite teilen. Das heißt wir möchten jetzt hier teilen

durch x mal y. Dann macht das ganze natürlich nur Sinn, wenn x und y nicht die Null Vektoren sind,

weil ansonsten hier die Norm Null wäre und wir nicht durch Null teilen können. Das heißt wir

ergänzen hier mit x, y ungleich den Null Vektoren im Rho n und wir wissen aus der Eigenschaft der

Norm, wenn x und y nicht Null Vektoren sind, dann kann die Norm auch nicht Null sein. Das heißt,

das reicht hier. Was passiert, wenn wir das machen? Dann kommen wir im Prinzip zu folgender

Ungleichung. Das bedeutet also, dass jetzt das Skalarprodukt von x mit y zum Betrag geteilt

durch den Produkt der Norm x mal y kleiner gleich 1 ist. Schon mal eine schöne Erkenntnis. Was bringt

uns das? Naja, jetzt überlegen wir uns, wie kann ich noch den Betrag loswerden? Und man sieht ein,

das Skalarprodukt ist entweder per se schon positiv, dann kann ich einfach die Betragsstriche

weglassen oder es wird negativ, dann muss ich nach unten abschätzen und das heißt,

wenn ich den Betrag weglassen möchte, dann kann ich folgende Ungleichung schreiben,

nämlich dass minus eins immer kleiner gleich ist zu dem Skalarprodukt von x und y geteilt durch

dem Produkt der Norm x mal y. Das ist kein schönes y, das kriegen wir besser hin. Und das ist

kleiner gleich 1. Das ist jetzt eine Ungleichung, die wir aus der Cauchy-Schwarze-Ungleichung

herleiten konnten. Was bringt uns das Ganze? Naja, wenn wir das jetzt mal vergleichen mit

einer der trigonometrischen Funktionen, insbesondere dem Cosinus, dann fällt auf,

dass sich der Cosinus sehr ähnlich verhält. Er ist nämlich auch beschränkt durch minus eins und eins

und er hat ein sehr ähnliches Verhalten, was die Winkel angeht. Das heißt, wenn wir jetzt den Cosinus

betrachten, Cosinus-Funktion hier mal definiert auf dem Intervall 0 bis Pi. Das ist eigentlich der

Winkel, der uns hier interessiert. Das bildet immer ab nach minus eins bis eins. Dann sehen wir,

dass sich der Cosinus genauso verhält, nämlich gerade dann eins ist, wenn unser Winkel alpha

gleich 0 ist und ansonsten eben zwischen minus eins und eins beschränkt ist. Das heißt, wir können

uns das Ganze mal visualisieren und wir sehen recht schnell ein, dass wir mit dem Ausdruck hier oben,

den ich in einen Kasten bringen möchte, einen Winkel messen können von folgender Gestalt. Wir

haben jetzt zwei Vektoren. Ich benutze hier mal dieses File Tool. Das ist der eine Vektor,

den bezeichnen wir mit x und dann haben wir noch einen zweiten Vektor, den bezeichnen wir hier mit

y. Dann gibt uns gerade der Ausdruck, den wir hier oben aus der Cauchy-Schwarzung-Gleichung

gefolgert haben, den ich noch mal in rot umranten möchte, gerade Informationen über den Winkel alpha

bezogen auf den Cosinus. Das heißt, wir messen hier Cosinus von alpha und das heißt, wir können

folgenden Zusammenhang herleiten. Der Cosinus von alpha ist gerade gleich dem Skalarprodukt von x mit

y geteilt durch den Produkt der Normen von x und y. Das heißt, aus dem Skalarprodukt konnten wir

hier diese geometrische Zusammenhang einsehen. Wenn alpha jetzt gleich 0 wäre, der Cosinus von 0

wäre dementsprechend 1 und das bedeutet nichts anderes, wie dass unser Skalarprodukt 1 ist. Also

wir könnten uns noch die Frage stellen, um das ein bisschen besser zu verstehen, wann wird der

Ausdruck eigentlich 1? Wird Cosinus alpha gleich 1? Ist die Frage. Naja, für alpha gleich 0. Was

bedeutet das? Naja, alpha gleich 0 heißt, dass der Winkel 0 ist. Insbesondere zeigen dann x und

y in dieselbe Richtung und wie wir schon gesehen haben, in der Cauchy-Schwarzung-Gleichung ist das

der Fall, in dem, wenn ich ein bisschen hochscrolle, hier keine Ungleichung steht, sondern eine echte