Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

In der letzten Vorlesung haben wir ja über reelle Funktionen gesprochen und schon diverse

Begriffe definiert. Geradefunktionen haben wir definiert. Ungradefunktionen, Monotonie,

streng monoton wachsende Funktionen, monoton wachsende Funktion, monoton fallende Funktionen

und so weiter. Und heute geht es um eine spezielle Klasse von Funktionen, nämlich die Polynome.

In den reellen Zahlen haben sie ja die Addition und die Multiplikation und wenn sie die verknüpfen,

können sie Polynome definieren. Das sind also die einfachsten Funktionen, die man durch endlich

viele dieser Operationen, Addition und Multiplikation erhalten kann. Wir haben ja die Potenzen schon

kennengelernt. Also eins können wir als x hoch null interpretieren. Dann kommt x, das ist x hoch eins,

x Quadrat, x hoch drei und so weiter. Davon gibt es also beliebig viele. Der Grad geht immer weiter,

x hoch N und dann kommt x hoch N plus eins. Wenn ich jetzt von diesen Potenzen endlich viele her

nehme, kann ich damit ja Linearkombinationen bilden und diese Linearkombinationen aus endlich vielen

Potenzen sind dann Polynome. In den Linearkombinationen tauchen dann natürlich

Koeffizienten auf, wie immer bei den Linearkombinationen. Also Definition, was ist ein

Polynom? Wir betrachten hier reelle Funktionen, deshalb definiere ich hier auch reelle Polynome.

Das Ganze funktioniert auch mit komplexen Zahlen. Eine Funktion f von den reellen Zahlen in die

reellen Zahlen mit der Eigenschaft f von x hat die Gestalt. Wir haben eine konstante a null,

dann plus a eins x, das wäre jetzt eine Funktion, deren Graf eine Gerade ist. Dann geht es weiter

plus a zwei x Quadrat und so weiter plus a N mal x hoch N. Weil wir nicht immer so viele

Terme hinschreiben wollen, gibt es auch die Kurzschreibweise mit dem Sigma, also Summe von i gleich null bis N.

Koeffizient a i multipliziert mit der Potenz x hoch i, ist ein Polynom. Diese Zahlen a i sind dabei

die Koeffizienten und hier betrachten wir reelle Koeffizienten, damit wir auch eine reelle Funktion

bekommen, die reellwertig ist. Also a i sind aus R, für i aus null bis N. Also um ein Polynom vom

Grad N zu beschreiben, brauchen Sie N plus eins Koeffizienten, also einen mehr als den Grad, weil

Sie ja diese konstante a null auch haben. Also diese Funktion heißt Polynom vom Grad N.

Die a i heißen Koeffizienten

des Polynoms. Also das sind die reellen Polynome mit reellen Koeffizienten. Auf der reellen Achse

sind die reellwertig. Entsprechend definiert man dann komplexe Polynome. Das sind dann Funktion f

von c nach c. Das ist viel schwieriger im Komplexen. Wir analysieren ja in diesem Kapitel

reelle Funktionen. Nach dieser Definition sind ja insbesondere die konstanten Funktionen. Polynome,

das sind Polynome vom Grad Null. Die gehören ja zu der Potenz x hoch Null, das ist eins. Beispiel,

ein Polynom vom Grad Null hat die Form f von x ist gleich a Null für alle x aus R.

Dann gibt es Polynome vom Grad 1. Die sehen so aus. Y-Achsenabschnitt plus Steigung mal x,

also wie die Graden. Und dann kommt die Polynome vom Grad 2. Dazu hier ein Beispiel. f von x ist

gleich 1 plus x² ist ein Polynom vom Grad 2. Der Grad 2 ist ja der Exponent bei der höchsten

Potenz und die ist hier 2. In der letzten Vorlesung haben wir ja gerade Funktionen definiert. Bei diesem

Beispiel Polynomen kommen ja nur gerade Potenzen vor und das ist deshalb auch eine gerade Funktion.

Also f ist eine gerade Funktion zur Wiederholung. Das hieß f an der Stelle minus x ist das Gleiche

wie f von x. Das ist also die Symmetrie zu der y-Achse. Jetzt gehen wir mal höher mit dem

Polynomgrad zum Grad 3. Beispiel f von x ist gleich x hoch 3. Man schreibt dann der Grad von f ist

gleich 3. Das erklärt sich von selbst. Das ist halt die Notation um den Grad des Polynoms anzugeben.

Diese reelle Funktion ist ungerade. f ist eine ungerade Funktion. Das hieß folgendes, wenn man f von

minus x hernimmt, dann kann man das Minuszeichen sozusagen rausziehen. Das ist dann, wenn man es

einsetzt, ist es ja minus x hoch 3. Das ist ja minus 1 hoch 3 mal x hoch 3. Minus 1 hoch 3 ist ja

minus 1. Also das ist minus x hoch 3. Also minus f von x. Man kann das Minuszeichen hier rausziehen. Und außerdem

ist diese Funktion x hoch 3, die kennen Sie ja schon, streng monoton wachsend. Das ist ja so eine Art

Sitz mit hier einem kritischen Punkt in der Null. Also in der Null, da wird es ganz flach, aber nur

genau in der Null, da verschwindet die Ableitung. Aber trotzdem ist die Funktion noch streng monoton

wachsend. f wächst streng monoton. Was kann man jetzt mit zwei Polynomen machen? Das interessante an

Polynomen ist, dass sie ja durch ihren Koeffizientenvektor eindeutig festgelegt sind.