Als Abschluss unserer Diskussion von euklidischen und unitären Vektorräumen wollen wir uns nun

noch einmal mit den komplexen Zahlen ein wenig rumschlagen. Das heißt, im heutigen Video befassen

wir uns mit dem kanonischen Skalarprodukt in C hoch N. Das heißt, wir werden ähnliche Beobachtungen

machen wie auch im euklidischen Fall bei den reellen Zahlen und wir werden uns auch ansehen,

wie so ein Skalarprodukt eine Norm induziert und dann werden wir uns überlegen, ob denn

dieses Skalarprodukt verträglich ist mit dem kanonischen Skalarprodukt in euklidischen Räumen.

Bevor wir anfangen, wollen wir vielleicht noch mal kurz ein paar Basics für komplexe Zahlen

wiederholen. Ich selber vergesse auch ständig, wie die Definitionen sind, da ich sie nicht im

täglichen Leben benutze. Das heißt, es kann nicht schaden, sich hier noch mal kurz anzuschauen,

was denn so eine komplexe Zahl eigentlich ist. Das heißt, als Wiederholung aus dem, was ich

aus dem ersten Semester schon kennen ist, wir betrachten mal eine komplexe Zahl z.

Z aus den komplexen Zahlen, jetzt noch nicht im n-dimensionalen Vektorraum. Und die können wir

darstellen mit zwei reellen Zahlen ab, also mit einem Paar oder einem Vektor um R2,

dass wir darstellen können mit einem Vektor ab. Das sind die Koeffizienten des Realteils

und Imaginärteils aus R2, so dass wir folgende Darstellung erhalten der komplexen Zahl. Z ist

dann definiert als A ist der Realteil plus der imaginären Zahl multipliziert mit B. Genau,

dann haben wir noch ein paar nützliche Funktionen uns im ersten Semester angeschaut, dass es zum einen

die Betragsfunktion, das heißt Betrag einer komplexen Zahl. Wie war das definiert? Naja,

der Betrag der komplexen Zahl z ist nichts anderes wie A² plus B², das sind also die

Koeffizienten von Realteil und Imaginärteil quadriert und aufsummiert und daraus die Summe.

Das erinnert uns stark an die Definition der Normen R2 im eukledischen Raum und das ist auch

mit gutem Grund so, wie wir sehen werden. Und was gab es noch? Es gab noch bei den komplexen

Zahlen die komplexe Konjugation. Die wollen wir vielleicht auch noch mal in Erinnerung rufen.

Und zwar sagen wir eine komplexe Konjugation z quer der Zahl z in den komplexen Zahlen ist

nichts anderes wie ein vertauschtes Vorzeichen vom Imaginärteil. Das heißt wir nehmen z an als

A plus IB, dann ist z quer nichts anderes wie A minus IB. Ganz wichtig ist hier, dass da das

Vorzeichen vertauscht wird bei der komplexen Konjugation. Das letzte was wir uns noch mal

anschauen wollen ist, wie man zwei komplexe Zahlen miteinander multipliziert, denn es werden auch

Produkte im folgenden auftauchen, damit sie wieder sich erinnern wie so ein Produkt aussieht. Das

heißt Produkt komplexer Zahlen. Wie war das definiert? Dafür nehmen wir uns jetzt mal zwei

komplexe Zahlen z1, z2. Z2 in C. Dann gelten die folgenden Rechenregeln bei multiplizieren.

Dann gilt, na wie war das ganze definiert? Sagen wir z1 sei mal definiert als x1 plus i y1 und z2

sei definiert als x2 plus i y2. Dann ist die Frage was ist denn das Produkt der beiden? Das

Produkt der beiden kann man hinschreiben als z1 mal z2 ist nichts anderes wie die Realteile

miteinander multipliziert x1 x2 der beiden Zahlen minus den imaginärteilen y1 y2. Das ganze plus

i mal und jetzt gerade die beiden vertauscht. Jetzt kommen die gemischten Terme. Das heißt wir

haben sowas wie x1 y2 plus x2 y1 und das erinnert uns, wenn wir uns nur mal diese Terme anschauen,

die dort vorkommen, Produkt sehr stark an die Determinante. Wir werden nachher sehen,

das ist natürlich auch so. Man kann dieses Produkt eben auch über die Determinante einer

Matrix ausdrücken und das werden wir uns auch zu nutze machen. Das war jetzt noch mal kurz die

Wiederholung zu komplexen Zahlen. Wir wissen jetzt es gibt eine Darstellung in R2 mit Koeffizienten.

Wir wissen, wir den Betrag bilden können, nämlich einfach als nur Normen R2. Komplexe

Konjugation ist nur Vertauschung des Vorzeichens im imaginärteil und das Produkt sieht ebenso aus

wie eine Determinante. Gut, dann haben wir eigentlich alles was wir brauchen. Wir können

jetzt anfangen uns ein Skalarprodukt im Vektorraum C hoch N zu definieren. Wir gehen jetzt wieder in

die höhere Dimension. Das heißt die Definition, mit der wir beginnen wollen, ist gerade das

Skalarprodukt oder das kanonisches Skalarprodukt in C hoch N. Das wird in der Literatur auch häufig

bezeichnet als das komplexe Skalarprodukt. Das heißt diese Bezeichnung können Sie auch immer

mal wieder finden. Was brauchen wir für die Definition? Wir brauchen zwei komplexe Vektoren.

Also sei z gegeben, ich mach's mal einmal ausführlich, z1 bis zn aus dem n-dimensionalen