Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, Grüß Gott zusammen.

Hey Jungs, wir fangen an.

Jetzt haben wir noch vier Termine, das ist denkbar wenig.

Schauen wir mal, was wir da noch schaffen können, insbesondere da wir einen enormen

Backlog haben, da der Herr Merz wohl mit dem Beamer nicht zurecht gekommen ist und vielleicht

manche Sachen zu ausführlich gemacht haben.

Wir werden dieses Problem einfach durch Auslassen lösen, was aber nicht ganz so schlimm ist.

Also was war jetzt der Stand der Dinge?

Wir haben den riesigen Darstellungsatz in seiner allgemeinen, das heißt unendlich dimensionalen

Form kennengelernt.

Was ist der Unterschied zur endlich dimensionalen?

Es fällt natürlich mit der endlich dimensionalen Form, endlich dimensionalen zusammen.

Wir brauchen einen Hilbertraum, das heißt wir brauchen nicht nur ein Skalarprodukt,

sondern der Raum muss auch vollständig sein in der erzeugten Norm.

Und wir können nicht beliebige lineare Funktionale, beliebige Linearformen anschauen, das ist

einfach zu viel im unendlich dimensionalen, sondern nur die Beschränkten, nur die Stetigen.

Und da auch wiederum das Gleiche im endlich dimensionalen.

Und da ist die Aussage, wie wir es schon aus dem endlich dimensionalen kennen, jede Linearform

lässt sich in eindeutiger Weise mittels eines Darstellungsvektors A als die wohlbekannte

Form Skalarprodukt aus dem Argument X, inneres Produkt aus dem Argument X und dem Vektor

A darstellen.

Das heißt also über diese Isomorphie bekommen wir eine Isomorphie zwischen dem Dualraum.

Wenn ich jetzt Dualraum sage, meine ich immer den Dualraum der linearstetigen Funktionen,

nicht den algebraischen Dualraum.

Wie gesagt, im endlich dimensionalen ist es wieder das Gleiche, da gibt es kein Problem

mit der Verwechslung.

Und dem Raum selbst.

Das heißt also wie im endlich dimensionalen ist ein Funktional ein stetiges Funktional,

lineares Funktional wiederum nur ein Element, im Prinzip ein Element aus dem Raum.

Es ist nicht ganz so einfach wie im Rn oder Kn, wo wir einfach sagen, ja das eine sind

die Spalten, das andere sind die Tupel, aber es ist relativ ähnlich.

Diese Abbildung ist eine Isometrie, das heißt sie erhält die Normen, in dem Sinne sind

diese Hilberträume fast so einfach handhabbar wie endlich dimensionale Räume.

Im Prinzip, ja okay, das werden wir gleich noch sehen.

So, das hat jetzt diverse Konsequenzen, die ich jetzt nicht anschauen will im Detail,

und zwar geht es um den Begriff der Adjungierten.

Wir haben jetzt zwei sehr verwandte Begriffe kennengelernt.

Einerseits den Begriff der Adjungierten, das gibt es nur, wenn wir Skalarprodukträume

haben, das ist der Operator, der sozusagen entsteht, wenn der Operator durchs innere

Produkt durchwandert, der also diese Beziehung hier erfüllt, der also konkret im euklidischen

Skalarprodukt als Darstellungsmatrix geschrieben einfach die transponierte bzw.

adjungierte Matrix ist im Komplexen.

Und das ist der eine Begriff und der andere Begriff ist der der dualen Abbildung.

Nochmal, was war die duale Abbildung?

Das war eine Abbildung zwischen Dualräumen, auch sozusagen in umgekehrter Richtung, wenn

die Originalabbildung V hier von V nach W geht, geht natürlich das V adjungiert von

W nach V und das V, wie haben wir den Dualoperator genannt, Strich oder Stern oder bitte?

Stern.

Das V Stern geht dann von W, ja, entweder Stern oder W Strich, je nachdem wie man es