Wir haben uns im letzten Video mit Bilinearformen als Verallgemeinerung des kanonischen Skalarproduktes

beschäftigt und wollen uns natürlich auch einmal den komplexwertigen Fall anschauen.

Das heißt, heute soll es um die sogenannten Sesquilinearformen gehen, als Verallgemeinerung

des komplexen Skalarproduktes.

Das heißt, wir beginnen hier mit einer Definition für Sesquilinearform.

Sesquilinearformen. Zur Erinnerung, das Wort Sesquil heißt anderthalb, kommt aus dem Lateinischen

und liegt daran, dass wir eine Abbildung haben, die im ersten Argument linear ist und im zweiten

Argument semilinear. Wir werden das auch gleich genau definieren, was wir damit meinen. Gut,

also wir haben wieder einen Vektorraum V, der ist in dem Fall ein komplexer Vektorraum,

das ist wichtig, also über dem Körper C. Und wir brauchen, um die Eigenschaften zu definieren,

ein paar Vektoren und ein Skalar. Das heißt, wir geben uns folgende Vektoren vor V, V'

wie W' aus V und ein Skalar lambda aus C, wie gesagt, in dem Fall. Dann nennen wir folgende

Abbildung eine Sesquilinearform. Wir wollen sie auch wieder mit S bezeichnen. Wie funktioniert

diese Abbildung? Auch ähnlich wie bei den Bilinearformen erwartet sie zwei Argumente

aus dem Vektorraum, das heißt, wir haben V' und wir bilden ab in den Körper der komplexen

Zahlen, also nach C. Was wird da abgebildet? Im Prinzip einfach ein Paar aus 2 Vektoren

V, W wird abgebildet auf S von V und W. Wie genau diese Sesquilinearform abhängt,

das hängt ganz davon ab, welche Abbildung wir betrachten, das heißt, hier brauchen wir

nichts definieren. Diese Abbildung nennen wir Sesquilinearform, wenn einige Eigenschaften

gelten. Sesquilinearform auf V. Wann ist das so? Ich habe es im Prinzip schon gesagt,

wenn sie linear im ersten Argument ist und semilinear im zweiten. Das ist aber nur eine

Konvention. Man wird auch in der Literatur durchaus finden, dass eine Sesquilinearform

linear im zweiten Argument sein kann und semilinear im ersten. Das hängt ganz davon

ab, was die Autoren dieser Standardwerke bevorzugen. In manchen Anwendungen der Physik ist es schöner,

die Konvention andersrum zu machen, wie hier bei uns in diesem Skript. Wir belegen uns

jetzt einfach fest, dass das erste Argument linear und das zweite semilinear ist. Das heißt,

wenn sie linear im ersten und semilinear im zweiten Argument ist. Das wollen wir noch

ein bisschen präzisieren. Dafür schauen wir uns wieder die Eigenschaften für Linearität

an. Das heißt, zuerst betrachten wir das erste Argument V plus V Strich mit W in der Sesquilinearform.

Das kann ich linear auseinanderziehen in S von V und W plus S von V Strich und W. Gleiches

gilt im zweiten Argument. Das heißt, ich kann auch schreiben S von V W plus W Strich. Das ist

nichts anderes wie die Sesquilinearform von V und W plus die Sesquilinearform von V und W Strich.

Hier ändert sich auch noch nichts. Jetzt wird es aber spannend. Jetzt schauen wir uns an,

was mit den Skalaren passiert. Denken Sie daran, dass die Sesquilinearform eine

Fallgemeinerung des komplexen Skalarproduktes ist. Da haben wir auch schon gesehen, was mit dem Skalar

im zweiten Argument passiert. Ähnliches können wir hier dann definieren. Das heißt, wenn wir ein

vielfaches des Vektors V mit W haben im ersten Argument, dann können wir wirklich linear

rausziehen. Da ändert sich nichts. Das ist also Lambda von S, V und W. Und jetzt kommt der Fall,

der eigentlich aus der Sesquilinearform wirklich die Sesquilinearform macht und zwar S von V Lambda

W ist jetzt gleich, und das ist wichtig, die komplexe Konjugation dieses Skalars mal S von V

und W. Also hier ist der einzige Unterschied zum bilinearen Fall. Der ist jedoch wichtig.

Und was können wir noch dazu sagen? Zu Sesquilinearform, wir hatten die Eigenschaft

symmetrisch für Bilinearform eingeführt. Und bei Sesquilinearform ist es etwas anders.

Da betrachten wir die Eigenschaft der Hermitizität. Das heißt, die Abbildung heißt Hermitesch,

nach einem berühmten Mathematiker namens Hermit. Falls zusätzlich gilt, und zwar ist es fast die

Eigenschaft der Symmetrie, nur dass wir hier auch wieder komplexe Konjugation beachten müssen,

das heißt S und V und W. Das soll gerade gleich sein der komplexen Konjugation von W und V. Wichtig

hier komplex konjugiert. Gut, eine Eigenschaft können wir noch hinzufügen zur Definition,

nämlich man kann ebenfalls wie im Fall von Bilinearform eine quadratische Form definieren.

Das heißt, was machen wir jetzt noch? Wir definieren eine quadratische Form folgendermaßen,