In diesem Video wollen wir uns noch einmal mit dem Begriff der Orthogonalität bzw. Ortho-Normalität

beschäftigen. Diese Begriffe sind Ihnen sicherlich schon aufgetaucht und das wird zum größten Teil

eine Wiederholung der Konzepte sein, die wir uns schon angeschaut haben. Jedoch macht es an

der Stelle Sinn, der Vollständigkeit halber noch mal alles richtig zu definieren und auch

zu charakterisieren. Zum anderen ist das auch eine sehr schöne Vorbereitung auf das nächste

Kapitel, in dem wir uns spezielle Enomorphismen anschauen, bei denen das Konzept der Ortho-Normalität

uns besonders helfen wird. Also wir beschäftigen uns in diesem Video mit Ortho-Gonalität und einem

Spezialfall der Ortho-Normalität. Rein mathematisch ist das eigentlich eine sehr schöne Eigenschaft,

denn wenn wir eine Familie aus Vektoren gegeben haben, die orthogonal sind und diese Familie ist

zufällig auch eine Basis, dann ist es so, dass wir jeglichen Vektor anhand dieser orthogonalen

Vektoren darstellen können und dabei möglichst wenig Redundanz an Informationen enthalten,

da ja sämtliche Vektoren senkricht aufeinander stehen und Informationen nicht in mehreren Vektoren,

ich sag mal, abgespeichert sind. Das heißt, man minimiert die Redundanz der Information,

indem man autogonale Vektoren wählt. Das haben Sie auch bei der Hauptachsentransformation schon

gesehen, wo das Ziel war, beliebige Datenpunkte zu transformieren auf ein einheitliches Koordinatensystem

und dann konnte man diese autogonalen Vektoren nutzen, um sich zu überlegen, ob Informationen

wichtig sind oder eventuell ausgeschlossen werden können. Wir fangen an mit der Definition von

orthogonalität und wie bereits gesagt, das wird größtenteils eine Wiederholung sein, wir machen

es einfach nur, um vollständig das Kapitel der euklidischen und unitären Vektorräume abzuschließen.

Das heißt, wir beginnen mit folgender Definition.

Ortogonalität und Ortonormalität. Einfach nur mal diese Begriffe klar zu machen.

Und wir schauen uns das Ganze jetzt in beliebigen euklidischen und unitären Vektorräumen an. Also

CIFV ein euklidischer beziehungsweise uniterer Vektorraum.

Dann können wir folgende Begriffe definieren und wir machen jetzt sehr viele Definitionen,

darum notiere ich das Ganze hier mit dieser kleinen römischen 1. Und zwar zwei Vektoren,

nehmen wir u und v aus dem Vektor v heißen orthogonal.

Das kennen Sie schon, das haben wir definiert über das Skalarprodukt.

Falls folgende Beziehung gilt, das Skalarprodukt in diesem Vektorraum,

das kann zum Beispiel das kanonische Standard Skalarprodukt sein oder das komplexe Skalarprodukt.

Wichtig ist, dass das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren 0 ergibt.

Und wie wir das Ganze notiert haben, war mit diesen zwei senkrechten Strichen.

Das heißt, wir notieren in diesem Fall folgendes, nämlich u, dann kommt dieses Zeichen,

für senkrechte aufeinander stehend v und das sollen sagen, die beiden sind orthogonal.

Jetzt können wir das Ganze erweitern von Vektoren auf ganze Untervektorräume.

Das heißt zwei Untervektorräume, den ich jetzt groß u und groß v,

groß v ist ungeschickt, groß u und groß v, v haben wir als den gesamten Vektorraum genommen.

Die beiden Untervektorräume nennen wir orthogonal.

Na ja, was muss dann wohl gelten? Vermutlich, dass sämtliche Vektoren aus u und aus v senkrecht

zueinander stehen. Also, wollen wir das mal formulieren.

Wir sagen, die sind orthogonal, falls gilt u steht senkrecht auf v und das für alle u aus dem Untervektorraum u

und alle v aus dem Untervektorraum groß v.

Gut, in dem Fall können wir auch eine Notation angeben für die Untervektorräume.

Die sind genauso aus wie für die Vektoren.

Das heißt, wir schreiben, der Untervektorraum u steht senkrecht zum Untervektorraum v,

wenn diese Bedingung gilt.

Darüber können wir jetzt auch den Begriff des orthogonalen Kompliments einführen.

Das sind im Prinzip all die Vektoren, die zu einem Untervektorraum orthogonal sind.

Also ist u-timing v ein Untervektorraum.

Dann definieren wir das sogenannte orthogonale Komplement von u des Untervektorraums u.

Und von der Notation schreiben wir dann ein u und darüber sozusagen wie als Exponenten dieses Zeichen für senkrecht.