Im letzten Video haben wir das Kapitel zu Tensoren abgeschlossen und würden uns jetzt

einem neuen Gebiet innerhalb der Vektoranalysis widmen und zwar den sogenannten Differentialformen.

Und der entscheidende Unterschied quasi zu den vorangegangenen Kapiteln ist es, dass

wir nun zusätzlich zur Vektorraumstruktur ein Konzept noch von Räumlichkeit zusätzlich

einführen und wir werden im Kapitel zu Differentialformen häufig mit glatten Funktionen arbeiten, das

heißt das sind Funktionen aus dem Raum C unendlich, die nach R hoch N abbilden. Bevor

wir jedoch mit Differentialformen vernünftig anfangen können, brauchen wir noch einige

zusätzliche mathematische Konzepte, die wir bisher bewusst außer Acht gelassen haben,

innerhalb dieser Vorlesungsreihe und wir werden uns zuallererst den Begriff des topologischen

Raums anschauen, als eine Allgemeinerung von metrischen und normierten Vektorräumen,

die Sie ja bereits kennengelernt haben.

Und anschließend können wir über den Begriff der Topologie auch Manigfaltigkeiten als eine

spezielle Art eines topologischen Raums definieren, die lokal dem euklidischen Raum ähneln, aber

global vollkommen verschieden sein können.

Und das Anschauungsbild, das wir uns dort anschauen werden, ist zum Beispiel die Oberfläche

der Erdkugel oder ein zweidimensionales Blatt Papier, das Sie im 3D-Raum vor sich halten

und krümmen.

All das beschreibt Manigfaltigkeiten.

Um diese mathematisch präziser fassen zu können, brauchen wir zunächst topologische

Strukturen und den Begriff der Manigfaltigkeit.

Das heißt, in diesem ersten Video holen wir das nach, was wir bisher komplett außer Acht

gelassen haben, nämlich den Begriff eines topologischen Raumes.

Der Begriff ist schon mal aufgetaucht im Vergleich in der zweiten Vorlesung Mathematik für Physikstudierende

B, in denen wir uns metrische und normierte Räume angeschaut haben.

Da habe ich nur kurz am Rande erwähnt, es gibt noch allgemeinere Strukturen, die sogenannten

topologischen Räume und mit denen wollen wir jetzt heute beginnen.

Genau, also, von hier fangen wir an.

Das Wichtigste, um einen topologischen Raum zu definieren und zu verstehen, ist der grundlegende

Begriff der offenen Menge.

Das heißt, wir beginnen diese kleine Vorlesung zu topologischen Räumen mit einer Definition,

die lautet offene Mengen und topologische Räume.

Topologische Räume.

Den Begriff der offenen und abgeschlossenen Menge haben wir auch schon gesehen im Fall

von metrischen und normierten Räumen und wir werden sehen, dass das Ganze jetzt hier

verallgemeinern können, um noch allgemeinere Strukturen zu erhalten.

Zuerst brauchen wir eine zugrunde liegende Menge, die wollen wir im Folgenden immer n

nennen, also sei m eine Menge und wir bezeichnen jetzt ein sogenanntes Mengensystem, das wollen

wir mit tau bezeichnen und tau ist eine Teilmenge der Potenzmenge über m.

Das ist sozusagen die Menge aller Teilmengen, die man aus m bilden kann.

Das ist die sogenannte Potenzmenge und dieses Mengensystem tau, das muss nur ein Teil davon

sein.

Das muss nicht die gesamte Potenzmenge sein.

Wir können uns einen gewissen Teil daraus suchen und wir werden sehen, dass das uns

im Prinzip eine Art Struktur dann induziert.

Also tau sei eine Teilmenge der Potenzmenge von m.

Und jetzt können wir schon definieren, was wir unter einem topologischen Raum verstehen,

nämlich das folgende Tupel, wir nennen das Tupel, das jetzt sozusagen aus der zugrundeliegenden

Menge m und diesem Teilmengensystem tau besteht, das nennen wir jetzt einen topologischen Raum.

Wir sehen, dazu braucht man nicht sehr viel.

Falls folgende Eigenschaften erfüllt sind, das sind sozusagen die Mengenaktionen, die