Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Na gut, also Herr Knabner hat am Freitag eben mit dem Beweis für die Konvergenzordnung,

wenn wir die Semidiskritisierung mit Hilfe der definierten Elementmethode vollziehen, vorgeführt.

Und ich möchte ihn heute nochmal wiederholen an der Tafel, weil ich glaube, dann lässt es sich besser überblicken.

Gut, schreiben wir erstmal die allgemeine Teta-Methode nochmal hin.

So, wir haben einmal, das hier ist unsere Volldiskritisierung.

Mit diesem Delta vorne dran ist das gerade der Differenzenquotient plus die B-Linearform Teta UN plus 1 Teta bar UNVH.

Das ist gleich die rechte Seite BN Teta VH.

Für alle Funktionen aus unserem diskreten Raum.

Außerdem machen wir noch einige Annahmen.

Als da wären zum einen das U zweimal schädlich differenzierbar ist, wie wir heute in der Übung gesehen hatten.

In der Übung hatten wir, um eine sogenannte verbesserte Abschätzung der Konvergenzrate zu zeigen,

die speziell dann im Crank-Nickelsen-Fall interessant ist, also für Teta gleich ein halb.

Hier eben dreimal stetige Differenzierbarkeit gebraucht, jetzt nur noch zweimal für den allgemeinen Fall.

Und das Teta soll echt zwischen ein halb und eins sein.

Man bekommt auch ein ähnliches Resultat, wenn Teta zwischen null und eins liegt, zwischen null und ein halb.

Das werden wir dann auf einer Folie noch sehen.

Aber dafür braucht man dann noch zusätzlich Stabilitätsannahmen an der Zeitschrittweite tau.

Es steht jetzt hier gar nicht explizit dabei.

Außerdem ist dieses Teta bar gerade eins minus Teta.

So definiert.

Okay, also wofür wir uns interessieren, ist gerade eine Abschätzung, eine Fehlerabschätzung von der exakten Lösung

zum Zeitpunkt T n minus die volldiskretisierte Lösung groß u zum Zeitpunkt n.

Und davon die L2-Norm.

Gut, wir können das jetzt umschreiben. Das ist nichts anderes als U tn minus die elliptische Projektion von U tn.

Das wurde schon abgeschätzt, dafür haben wir Abschätzungen.

Die sind dann von zweiter Ordnung bezüglich der räumlichen Gitterweite.

Das nennen wir mal rho tn.

Also das hatten wir schon gemacht, und zwar im Kapitel über die Semidiskretisierung.

Was jetzt noch fehlt, ist die Abschätzung für diesen Term von der Ritzprojektion der Fehler zur Volldiskretisierung.

Und das nennen wir jetzt mal, das nennen Sie jetzt auch Teta, ich nenne mal das curly Teta n.

Das wollen wir jetzt also im weiteren Verlauf abschätzen.

Und dafür schreiben wir erstmal folgendes um, und zwar das Skalarprodukt von 1 durch Tau curly Teta n plus 1 minus curly Teta n getestet mit V h.

Und V h ist wieder erstmal irgendeine beliebige Funktion aus unserem endlich-dimensionalen Ansatzraum plus die B-Linear mit den Argumenten

Teta curly Teta n plus 1 plus Teta bar curly Teta n, auch wieder im zweiten Argument V h.

Gut, wenn wir das jetzt umschreiben nach Definition von Teta n plus 1, ist das hier gerade, so wie es definiert ist,

die Ritzprojektion angewandt auf U an der Stelle T n plus 1, also das hier ist nichts anderes als 1 durch Tau Rhu T n plus 1.

Und minus, dann haben wir hier noch minus groß U n, also 1 durch Tau U n plus 1, wir haben hier den Exponenten n plus 1.

Dann das gleiche für Minus Teta n, da haben wir also Minus Rhu T n, V h und hier minus U n V h.

Okay, dann fehlt jetzt hier noch diese B-Linear-Form, die zerlegen wir genauso nach Definition unserer Funktion curly Teta,

das ist nichts anderes als, jetzt fehlt mir hier ein bisschen Platz, A Teta Rhu T n plus 1 plus Teta bar Rhu T n, V h,

das sind die Anteile der Ritzprojektion, minus, und jetzt die Anteile der Voltiskritisierung, minus U bar plus U bar U n V h.

Okay, gut, und das schreiben wir jetzt einfach ein bisschen um, das ist dann nichts anderes als, den ersten Teil lassen wir wie er ist,

U T n plus 1 minus diese elliptische Projektion an der Stelle U T n, angewandt auf V h plus A Teta U T n plus 1 plus Teta Strich U T n V h.

So, das ist jetzt, was wir hier gemacht haben, ist nichts anderes als, nur die Definition dieser elliptischen Ritzprojektion angewandt,

also hier ist nichts weiter passiert als Definition von R h, diese war ja gerade so definiert, dass R h angewandt auf eine solche Funktion,

U in V minus die Funktion in V getestet an eine Funktion V h, in dem eigentlich demensional Ansatzraum V h gerade Null ist.

Ja, gut, minus B n plus Teta V h, das sind jetzt noch diese beiden Terme, diese beiden Terme, die zu diesem minus B n Teta V h führen,

das ist aber gerade hier diese diskreditierte Formulierung unseres Problems, die wir hier genutzt haben.

So, den ersten Term schreiben wir wieder, wie er ist, den zweiten Term, was bekommen wir hierfür?