Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Gut, fangen wir an. Wir hatten letztes Mal angefangen uns mit Differenzenverfahren für

Anfangswertaufgaben für gewöhnliche Differenzalgleichungen zu beschäftigen.

Ich sage noch mal ganz kurz, was der Rahmen ist für uns. Anfangswertaufgabe heißt immer y'

gleich f und t und y. y ist eine vektorwertige Funktion gesucht auf ein Intervall t0 groß t,

die die Differenzalgleichung erfüllt und eine Anfangsbedingung. Viele dieser Gleichungen

kann man lösen, viele insbesondere auch nicht, insbesondere wenn sie dann eben sich um

Systeme handelt, was ja in unserer Formulierung hier beinhaltet ist. Der typische Fall sind

Systeme, denn sonst müsste man zumindest Gleichungen höherer Ordnung anschauen,

wie wir gesehen haben. Wenn man das vermeiden will, wenn man also zumindest prinzipiell

Gleichungen höherer Ordnung in Systeme erster Ordnung umschreiben will, muss man eben Systeme

zulassen. Okay, die allgemeinen Theorievoraussetzungen, die wir machen wollen, die uns dann die

Gültigkeit des Satzes, die die Anwendbarkeit des Satzes von P. K. Lindelöff sichern, also

die lokale eindeutige Existenz einer Lösung ist im Wesentlichen die Lipschitz-Stätigkeit

der rechten Seite f in der Variable y und zwar genauer gesagt die lokale Lipschitz-Stätigkeit,

das heißt also zu jeder kompakten Teilmenge, grob gesprochen des Rn plus eins, gibt es

eine Lipschitz-Konstante, sodass wir diese Lipschitz-Stätigkeit in der Menge haben,

in der Variable y für festgehaltene Variable t. Oft werden wir da uns auf den Fall globaler

Lipschitz, dass die globale Lipschitz-Stätigkeit macht eine ganze Menge von Überlegungen einfacher.

Man kann sich vorstellen, gerade dann wenn es um Verfahren geht, dann reden wir über

Ernährungslösungen.

Ernährungslösungen sollten sich ja in der Nähe der dann existenten, aber unbekannten

exakten Lösung aufhalten.

Das heißt also man kann sich vorstellen, dass man sich auf eine Umgebung dieser Lösung

beschränken kann.

Das ist ein gewisser technischer Aufwand und man muss sich überlegen, dass das auch geht.

Und um auf diese Weise viele Überlegungen unter der Voraussetzung der globalen Lipschitz-Stätigkeit

machen zu können.

Wenn man sich nämlich auf so eine Umgebung beschränken kann, wenn man weiß, alles spielt

sich in dieser Umgebung ab, dann kann man eben außerhalb der Umgebung die Funktion f

so fortsetzen, dass dann die globale Lipschitz-Stätigkeit gegeben ist.

Man verändert ja das Problem dadurch nicht, weil sozusagen das f außerhalb dieser Umgebung

gar keine Rolle spielt, gar keinen Einfluss hat auf die Bestimmung jetzt der spezifischen

Lösung und der betreffenden Ernährungslösungen.

Okay, so jetzt zu den Verfahren.

Was wir noch gesehen hatten, was ein bisschen Rolle spielen wird, ist, dass das einfache,

also gewöhnliche Differenzsaglagerungen sind im Prinzip einfach, dass das einfache

bei gewöhnlichen Differenzsaglagerungen unter anderem darin liegt, dass die Glattheit

der rechten Seite f sich auf die Lösung y durchdrückt.

Das heißt, wenn ich weiß, f ist in einer Umgebung u in diesem Ty-Bereich, sagen wir

mal m mal stetig differenzierbar, dann ist auch die Lösung, die sich in dieser Menge

u aufhält, m plus 1 mal stetig differenzierbar.

Man kann die Ableitungen sukzessive auf Ableitungen von f ausgewertet entlang der Lösung y zurückführen.

Das haben wir hier einmal gemacht für die zweite Ableitung, indem wir geduldig mit

der Kettenregel alle Ableitungen ausgerechnet haben.

Das kann man im Prinzip auch für höhere Ableitungen machen, aber sollte man vielleicht

eher automatischen Differenzationsprogrammen dann überlassen.

Hier steht nochmal die dritte Ableitung, da wären die Formeln schon relativ unübersichtlich.

Was ein bisschen hilft, ist, wenn man sich auf den autonomen Fall zurückzieht, also

auf den Fall, dass f nicht explizit von t abhängt und auch diesen Fall können wir