Die Nachricht wird anfangen. Bevor ich anfange, was ich vorhin gesagt habe, gibt mir per Mail ein Feedback, wenn ihr euch das Video anschaut und etwas verpassen solltet.

Ich habe selbst festgestellt, dass ich nicht den Genug an der Trafe auftrage und dass man das manchmal nur so optimal lesen kann, was ich an der Trafe schreibe, wenn man sich das Video anschaut.

Ich glaube, die Funktualität müsste einigermaßen passen, aber wie gesagt, schreibt mir einfach bzw. wir sind jetzt hier ein bisschen weniger als letztes Mal, wahrscheinlich werden sich einige das jetzt noch online anschauen.

Dann hören Sie das jetzt quasi durch die Aufzeichnung mit, dass man mir da Feedback geben soll, damit ich mich daran orientieren kann und vielleicht etwas besser machen kann.

Zur Aufgabe 15, damit wurde jetzt ein bisschen in den Präsentübungen gequält, so ein bisschen Erlanger Besonderheit, dass in der Mathevorlesung sehr ausführliche natürlichen Zahlen konstruiert werden, aus den natürlichen ganzen Zahlen und aus den ganzen irrationalen.

Was jetzt Herr Heiland in der Vorlesung weggelassen hat, war die Konstruktion der reellen Zahlen, das wäre sonst eigentlich auch noch drin gewesen, aber das holt er vielleicht noch nach, wenn wir das Thema Überabzählbar-Unendlichkeit in der Vorlesung da haben.

Durchsicht, in der Aufgabe 15 solltet ihr das Distributivgesetz, auf den natürliche Zahlen zeigen, das ich dann festgestellt habe, ich wollte das so wie das in den anderen Aufgaben war, mit der vollständigen Induktion machen und wenn man das dann mit vollständiger Induktion macht, stellt man dann irgendwann fest, die Induktionsvoraussetzung brauche ich eigentlich gar nicht, die muss da zulegen.

Deswegen mal einfach dasselbe, einfach nur ohne Induktion, weil ich das einfach direkt zeigen kann.

Also die A15, wobei es natürlich nicht falsch wäre, trotzdem den Induktionsansatz zu machen, aber er ist überflüssig.

Okay, was ist zu zeigen? Die Zeige ist, das A mal B plus C, dasselbe ist wie B plus C mal A und das hier darum dasselbe ist wie A mal B plus A mal C.

Für alle A wie C aus den natürlichen Zahlen.

Ich meine, jetzt mache ich das in zwei Schritten, eigentlich ist das Komotativgesetz, das habt ihr ja schon gezeigt, also dann könnte ich gleich sagen, zu dem ist Gleichzeichen, zu dem benutze ich einfach das Komotativgesetz. Aber ich mache es.

Also ich zeige als erstes A mal B plus C, das ist A mal B plus A mal C.

Für alle A wie C aus den natürlichen Zahlen.

Naja, jetzt nehme ich einfach die Definition der Multiplikation, weil ihr nach Präsentsaufgabe gegeben habt.

Also habe ich jetzt A mal A mal A, das mache ich B plus C mal, sorry, plus, so jetzt hast du natürlich ja eine Potenz bekommen, das mache ich B plus C mal.

Jetzt ziehe ich das strukturell auseinander, dass ich quasi einmal die ersten B und dann die nächsten C nehme.

Also sage ich A plus A, das mache ich B mal, dann A plus A, das mache ich C mal.

So, jetzt nehme ich wieder die Definition der Multiplikation und ziehe das wieder zusammen.

Und habe dann A mal B plus A mal C. Schalte vielleicht dazu hier, Definition der Multiplikation. Und die benutze ich hier auch.

Also ich benutze im ersten Schritt die Definition der Multiplikation und im letzten Schritt mache ich es sozusagen wieder zurück.

So, jetzt habe ich Schritt 1 gemacht und jetzt muss ich noch mit dem Kommutativgesetz zeigen, dass ich das oben angeschriebenen auch heranreifen kann.

Ja, mit Hilfe des Kommutativgesetzes, also ich schreibe es einfach nur hin, also formal ist es ja klar, weil schon die Wiesen.

So, schaue ich jetzt ein bisschen kleiner hin.

Und dann mache ich jetzt die Kürze ab für alle A, B, C.

Fragen dazu.

Die Definition der zweiten Aufgabe, meine Binomial-Kurvizienten werden euch immer wieder im Studium beginnen.

Deswegen dachte ich, ich nehme die Aufgabe dazu, damit man sich ein bisschen mit den entsprechenden Rechenregeln vertraut macht.

Also die 1i und die 2i sieht man einfach durch Nachrechnen. Die 3i ist eine Konsequenz aus der 2i und die 2. da steht es meistens mit vollständiger Induktion.

A16, das ist hier sozusagen die Simitiereigenschaft des Binomial-Kurvizients und welche Nachweisen.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, das offensichtlich zu machen, was das gilt. Also N über K, jetzt setzen wir die Definition A, die Definition ist N-Fakultät durch K-Fakultät.

Was man jetzt machen kann, ist, dass ich jetzt einfach drunter N-K, die Definition noch mal hinschreibe, dann vertausche ich den, wehe ich die Produkte um, im Nenner.

Und dann sieht man es ja offensichtlich, dass es dasselbe ist, weil es geht ja um Fakultät.

Was ich jetzt aber mache, ist, ich mache eine Neukade-Sole und dann sieht man es auch. N-Fakultät und dann N-N-K-Fakultät durch N-K-Fakultät und das ist eben N-K aus N bzw. N-K.

Dann die 2i.

Die 2i soll die Folgenes zeigen, N plus 1 über K plus 1 ist dasselbe wie N über K plus N über K plus 1.

Das ist also zu zeigen.

Okay. Also, ich fange mit der rechten Seite an und zeige, dass die linke Seite rauskommt. Also N über K plus N über K plus 1.

Ich muss das dann alles auf den gemeinsamen Nenner bringen, aber ich schreibe erst mal die Definitionen hin.

Also N-Fakultät, K-Fakultät, N-K-Fakultät, dann habe ich N-Fakultät, K plus 1-Fakultät, dann N-K plus 1-Fakultät.

Ich sollte mal vielleicht mein N etwas deutlicher machen, damit man zu meinem K unterscheiden kann. Jetzt ist es klar.

Jetzt muss ich schauen, welche Faktoren mir links und rechts fehlen. Hier habe ich das K plus 1, das mir links fehlt. Also das wird mal K plus 1, mal K plus 1.

Und hier fehlt mir das N-K. Also ich meine, das sieht man vielleicht offensichtlicher, wenn man hier die Klammer ausmultipliziert, weil dann habe ich N-K minus 1.

Ich kürze etwas ab, was man hier sieht. Wenn ich das zusammenziehe, dann kann ich das N-Fakultät ausklammern.

Dann habe ich K plus 1 plus N minus K. Also bleibt mir der Faktor N plus 1. Dann habe ich N-Fakultät mal N plus 1. Also kriege ich N plus 1-Fakultät.

Bei Männer ist klar. Dann habe ich jetzt wieder die binomial-Koeffizienzen, aber oben habe ich jetzt N plus 1-Fakultät.

So, jetzt passt es.

Und die 3i funktioniert genauso, nur dass ich eine Endlixverschiebung mache.

Also ich schaffe es mal. Also 3i funktioniert analog zu 2i. Verschiebe jeweils L und K.

Um eins nach unten.