In Aufkommenszehen geht es um eine Anleitung des Zwischenwertsatzes und das Ganze geht folgendermaßen.

Wir wollen zeigen, wenn f auf dem Intervall a, b nach R definiert ist, a echt kleiner als b ist,

und f von a kleiner als b ist. Wie sieht das aus?

Also hier ist die Winkel halbierende,

a und das hier oben ist b. Die Funktion ist hier größer als b, nicht kleiner als b.

Und f von a ist kleiner als b. Und wir dann zeigen, dann existiert ein x Stern aus dem Inneren des

Intervalls a, b, sodass f von x Stern gleich x Stern ist. Und anschaulich ist es intuitiv,

also die Funktion, die muss halt irgendwann mal hier diese Winkel halbierende durchkreuzen,

wenn wir hier durchkommen wollen. Und dieser Kreuzungspunkt, das ist dann x Stern.

Und der Beweis, der ist sehr schnell, wir setzen g von x als f von x minus x.

Das heißt, das ist die Funktion minus die Winkel halbierenden Funktion.

Dann ist g von a gleich f von a minus a, und nach Voraussetzung ist das hier kleiner als 0.

Und g von b ist f von b minus b. Nach Voraussetzung ist das größer als 0.

Daraus folgt nach dem Zwischenwertsatz, dass ein Punkt x Stern in dem offenen Intervall a, b existiert,

sodass g von x Stern gleich 0 ist. Aber was ist g von x Stern? Das ist f von x Stern minus x Stern.

Mit allen Worten, f von x Stern ist gleich x Stern. Und damit ist die Auslage auch schon gezeigt.