Im letzten Video haben wir uns mit orthogonalen und unitären Endomorphismen beschäftigt und

auch eine Normalform für diese Gruppe von Endomorphismen hergeleitet. Jetzt wollen

wir uns einer ganz anderen Klasse von Endomorphismen widmen, den sogenannten

selbst adjumierten Endomorphismen. In diesem Video werden wir uns mit ihren Eigenschaften

beschäftigen und der Beziehung der darstellenden Matrizen. Wir werden sehen, dass diese insbesondere

interessant sind, da sie mit Hermetischen und symmetrischen Matrizen einhergehen, die

besonders schöne Eigenschaften haben. Gut, wir beginnen mit einer Definition. Was verstehen

wir unter einem adjumierten bzw. selbst adjumierten Endomorphismus? Also ich schreibe mal beides

in eine Definition. Selbst adjumierter Endomorphismus. Die Definition einer adjumierten Matrix haben

wir schon in einem der vorigen Videos gesehen. Jetzt wollen wir diesen Begriff übertragen

auf Endomorphismen. Das heißt, wir nennen eine Abbildung, die wir ähnlich bezeichnen

werden oder notieren werden, mit einem Sternchen. Eine Abbildung und ich schreibe mal f Sternchen,

die auch vom endlichdimensionalen Vektorraum V nach V abbildet. Dieser kann euklidisch

oder unitär sein. Die nennen wir einen adjumierten Endomorphismus von f, der selber ein Endomorphismus

ist. So, eines Endomorphismus f. Und wann nennen wir die so? Naja, wir brauchen jetzt

irgendeine Eigenschaft, die gilt und da kommt uns auch wieder das Standard-Skalarprodukt

in R oder in C hoch N zur Hilfe. Das heißt, wir brauchen dieses strukturgebende Element,

um überhaupt zu definieren, was heißt adjungiertheit. Eines Endomorphismus f, falls die folgende

Beziehung gilt. Naja, was muss gelten? Für einen adjungierten Endomorphismus müssen wir

prüfen, dass das Skalarprodukt von f und v und einem Vektor V gerade gleich dem Skalarprodukt

von v und f adjungiert auf V ergibt und das für alle v und w in V. Das muss man sich

also so vorstellen, wenn man es schafft, die Abbildung f auf die rechte Seite des Skalarproduktes

rüberzubringen, ohne das Skalarprodukt dabei zu verändern, dann ist diese Abbildung auf

der rechten Seite des Skalarproduktes gerade der adjungierte Endomorphismus. Gut, haben

wir den Teil der Definition abgeschlossen. Jetzt ist die Frage, was heißt selbst adjungierteheit?

Ich habe ja geschrieben, adjungierter bzw. selbstadjungierter Endomorphismus. Dafür

haben wir eine andere Beziehung. Also ein Endomorphismus f von v nach v heißt selbst

adjungiert, falls folgende Bedingung gilt. Im Endeffekt ist es jetzt dieselbe Bedingung

wie für adjungierteiten, nur dass wir einen kleinen Unterschied bemerken werden und zwar

schauen wir uns wieder das Skalarprodukt an von f von v und w und wir wollen das auch

wieder auf die rechte Seite rüberbringen, aber in dem Fall suchen wir nicht nach einem

beliebigen anderen Endomorphismus, der das erfüllt, sondern es muss die Funktion f selbst

sein und deswegen nennt man es auch einen selbstadjungierten Endomorphismus, das heißt,

es muss gelten, das ist das Skalarprodukt von v und f von w und das für alle v und

w in v. Sie sehen also der Unterschied hier ist wirklich das Sternchen. Wenn ich sage,

es kann ein anderer Endomorphismus sein, dann spreche ich hier von einer adjungierten und

wenn es der selbe Endomorphismus f ist, dann ist dieser selbstadjungiert. Gut, jetzt wollen

wir noch eine zusätzliche Definition hinzufügen. Wann nennen wir einen Endomorphismus normal?

Das hat auch etwas mit der Adjungiertheit zu tun und im Skript werden Sie feststellen,

dass die Definition von Normalität erst an späterer Stelle kommt, aber da Sie diesen

Begriff für die Hausaufgabe brauchen, macht es Sinn, ihn hier schon einzuführen. Also

wir nennen einen Endomorphismus f von v nach v, den nennen wir Normal, falls er mit seiner

adjungierten kommutiert. Was heißt das? Wir können die Reihenfolge der Anwendung der

beiden tauschen und erhalten denselben Operator mit seiner adjungierten kommutiert. Das heißt,

ausgedrückt mit Formeln erwarten wir, dass folgende Beziehung gilt, nämlich dass man

schreiben kann f angewendet auf die Adjungierte von f. Das muss dasselbe sein wie die Adjungierte

von f angewendet auf f. Das heißt, ich kann die Reihenfolge bliebig tauschen und wenn

dem so ist, dann nennen wir diesen Endomorphismus Normal. Gut, dann haben wir schon mal die

notwendigen Definitionen eingeführt, um damit jetzt zu arbeiten und Eigenschaften zu untersuchen.

Noch mal ganz kurz, wir haben uns im letzten Video mit orthogonalen und unitären Matrizen