Wir haben im letzten Video die geometrischen Eigenschaften von

orthogonalen und unitären Enormophismen untersucht und dabei erkannt, dass diese

Längen und auch Winkel erhalten sind. In diesem Video wollen wir untersuchen,

inwiefern diese speziellen Enormophismen eine Normalform

besitzen und wie diese aussehen kann. Sie erinnern sich vielleicht noch aus der

Eigenwerttheorie daran, die Normalform einer Matrix oder eines

Enormophismus das war etwas, an der wir alle Eigenschaften gut ablesen

konnten und die eine möglichst einfache Gestalt hat. Und in diesem Video wollen

wir uns genau mit dieser Frage beschäftigen, nämlich können wir einen

orthogonalen oder einen unitären Endomorphismus in diese besonders

einfache, aussagekräftige Gestalt überführen.

Man würde jetzt denken intuitiv, es macht Sinn erst mit den orthogonalen

Endomorphismen, also mit dem reellen Fall anzufangen, weil dieser vielleicht

einfacher ist, aber hier trügt ein bisschen die Intuition. Es ist in der Tat

einfacher, sich erst den allgemeinen unitären Fall anzuschauen, weil dort

viele Sachen sich stark vereinfachen und im Anschluss werden wir uns dann um den

orthogonalen Fall kümmern. Das heißt, im Folgenden beschäftigen wir uns mit den

Normalformen für unitäre und orthogonale Endomorphismen.

Normalform für orthogonale und unitäre Endomorphismen. Und wir beginnen, wie gerade

angekündigt, mit der Normalform für unitäre Endomorphismen. Da möchten wir

folgenden Satz formulieren, auch genannt der Diagonalisierungssatz. Da können Sie

im Prinzip schon erahnen, wie die Normalform aussehen wird.

Und zwar wird die Normalform eines unitären Endomorphismus eine

Diagonalmatrik sein und wir werden auch versuchen zu verstehen, wie die Matrizen

aussehen, die uns auf diese Diagonalgestalt führen. Wenn Sie sich

zurückerinnern an Diagonalisierbarkeit, was wir in der Vorlesung gesehen haben,

war ein Endomorphismus hieß diagonalisierbar, wenn er zum einen in

sein charakteristisches Polynomen Linearfaktoren zerfiel und zum anderen

mussten algebraische und geometrische Vielfachheiten übereinstimmen.

Wir werden jetzt sehen, dass hier beim unitären Vektorraum für einen

unitären Endomorphismus Prinzip alles fast automatisch folgt. Das heißt, da muss

man fast nichts mehr prüfen und dafür schauen wir uns diesen Satz an.

Das heißt, der Satz sagt aus, jeder unitäre Endomorphismus

nennen wir ihn f von einem unitären Vektorraum V. Vektorraum V besitzt eine

Ortonormalbasis aus Eigenvektoren von f.

Das ist jetzt der wichtige Teil, dass die Eigenvektoren von f, wenn dieser

unitär ist, eine Ortonormalbasis bilden und insbesondere ist er diagonalisierbar.

Das war ja gerade die Definition der diagonalisierbarkeit eines

Endomorphismus, dass der Vektorraum eine Basis aus Eigenvektoren

besitzt und in diesem speziellen Fall ist es nicht irgendeine Basis, sondern ist es

sogar eine Ortonormalbasis.

Gut, wie funktioniert der Beweis? Der erklärt auch so ein bisschen, was dort

passiert geometrisch. Wir werden das ganze wieder wie häufig durch vollständige

Induktion beweisen über die Dimension n.

Das heißt, wir vollständige Induktion über n und n sei hier die Dimension des

Vektorraums V und was die Strategie sein wird, ist, dass man annimmt, dass es für n

minus 1 bereits gezeigt wurde und wir zerlegen uns den Endomorphismen in

invariante Unterräume und dann können wir die Induktionsvoraussetzung wieder

anwenden. Darum macht es hier Sinn mit vollständiger Induktion zu arbeiten.

Das heißt, wir fangen an mit dem Induktionsanfang n gleich 1.