Ich ersehe Sie herzlich willkommen zum zweiten Teil unserer Vorlesung. Wir haben mittlerweile

das Kapitel lineare algebra abgeschlossen und dieses erste Video soll uns sozusagen

einen Einstieg in der Analysis liefern, in der wir uns weniger um Matrizen und um die

Lösbarkeit von Gleichungen, als vielmehr um die Analysis von Funktionen und Folgen kümmern möchten.

Sie haben im letzten Semester bereits fundamentale Konzepte der Analysis kennengelernt, wie bereits

Begriffe der Folgen, Stetigkeit oder Kompaktheit. Allerdings haben Sie sich diese Begriffe in sehr

allgemein metrischen Räumen angeschaut. Das heißt, immer zugrunde liegend war der Abstandsbegriff

zwischen zwei Punkten gegeben durch eine Metrik. Wir wollen jetzt für den Einstieg das Ganze noch

etwas präzisieren, indem wir die Definition der Norm anwenden und dadurch nochmal diese Konzepte

ein wenig wiederholen, da diese fundamental sein werden für sämtliche Aussagen im zweiten Teil

unserer Vorlesung. Das heißt, wir werden jetzt ein paar Begriffe wiederholen, die Sie schon kennen,

die werden jetzt durch die Norm präzisiert. Gleichzeitig werden wir hier und dort neue

Erkenntnisse einstreuen, die für weiteres Studium dann wichtig sein werden. Die zugrunde liegende

Struktur, mit der wir uns jetzt in diesem Video beschäftigen möchten und auch in den nächsten

zwei anderen Videos werden die normierten Vektorräume sein und das heißt, wir wollen

uns als allererstes mal definieren, was wir unter einem normierten Vektorraum genau verstehen.

Dazu machen wir folgende Definition. Der normierte Vektorraum, das ist nämlich in der Tat ein

Paar, bestehend aus einer Menge oder einem K-Vektorraum. Das heißt, wir definieren uns,

anders als in der Linie algebra, verwende ich hier die Notation von x, da wir häufig

Elemente x und y betrachten werden, um das ein bisschen abzugrenzen von den Vektorräumen

V in der Linie algebra. Aber es handelt sich hier um dieselben K-Vektorräume. Also x ein Vektorraum

über einem allgemeinen Körper K. Denken Sie da einfach an die reellen Zahlen oder die komplexen

Zahlen. Und wir betrachten folgende Abbildungen, die wir folgnotieren wollen. Das ist die Abbildung,

die durch diese Normstriche gegeben ist mit einem kleinen x. Das heißt, das ist die Norm,

die für diesen Vektorraum definiert ist und die bildet ab vom Vektorraum x in die positiven

reellen Zahlen. Die Eigenschaften von Normen haben wir uns bereits angeschaut im letzten Kapitel. Und

wir nennen diese Abbildung eine Norm auf x. Dann ist jetzt der normierte Vektorraum nichts anderes

wie das Paar des Vektorraumes zusammen mit dieser Norm. Also dann nennen wir das Paar. Das heißt,

wir haben jetzt hier immer so ein Tupel bestehend aus der Menge und der zugehörigen Norm. Das heißt,

hier haben wir noch die x-Norm auf x definiert. Das nennen wir einen normierten Vektorraum.

Wir werden später sehen, dass wir noch gewisse spezielle Bedingungen von diesem Vektorraum

erfüllt sind. Das nennen wir nicht nur normierten Vektorraum, sondern sogar einen Banachraum. Aber

dazu kommen wir dann später. Und notationsweise, da es ziemlich lästig ist, die ganze Zeit diesen

Subindex x an die Norm zu schreiben, wenn der mathematische Kontext klar ist, wir also wissen,

in welchem Vektorraum wir uns befinden, lassen wir auch häufig das kleine x weg. Das heißt,

wir können dort, wo es eindeutig ist, einfach nur die Norm schreiben und es ist klar, auf welchen

Vektorraum wir uns hier beziehen und welche Norm genau gemeint ist. Das heißt, es kann sein,

dass ich im Folgenden das x nicht mehr dazu schreibe und dann müssen sie aus dem Kontext sozusagen

schließen, um welchen Norm es sich hier handelt. Gut, wie ist nochmal genau der Zusammenhang

gewesen zwischen Norm und Metriken? Wahrscheinlich wissen Sie es noch, es macht aber dennoch Sinn,

das einmal kurz nochmal zu erwähnen. Was wir wissen aus der letzten Vorlesung und auch aus

den Vorlesungen, die ich in diesem Semester gehalten habe, ist, dass jede Norm auch eine

Metrik auf dem Vektorraum induziert. Das können wir uns vielleicht nochmal anschauen.

Das heißt, aus einer Norm folgt ein Abstandsbegriff. Andersrum ist das nicht immer der Fall. Also die

Bemerkung sagt, jeder normierte Vektorraum ist gleichzeitig auch ein metrischer Raum.

Ein metrischer Raum, in dem wir folgende Metrik induziert bekommen durch die Norm,

bei der die Norm hier nochmal mit einem x geschrieben folgende Metrik induziert. Das

bedeutet insbesondere, dass wir jetzt sämtliche Begriffe im folgenden Spezialfälle sind,

der allgemeinen Begriffe, die Sie schon kennen, also zum Beispiel Stetigkeit oder Konvergenz,

nur dass eben der Abstand jetzt durch eine Norm definiert ist. Die Metrik wird induziert,