Ja, herzlich willkommen zu dieser Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C.

Wir haben uns in der letzten Vorlesung beschäftigt mit dem Tangentialbündel,

das wir eingeführt haben als globale Struktur. Heißt, wir haben bisher oder bevor haben wir mit

den Tangentialraum an einzelnen Punkten unserer Mannigfaltigkeit betrachtet und jetzt haben wir

so eine Art globale Struktur für alle P definiert. Wir haben es dann auch geschafft, die Tangentialräume

für verschiedene P, zumindest eine gewisse Beziehung zu setzen mit diesem Diffirmophismus

aus der letzten Vorlesung. Was wir diese Vorlesung machen wollen, ist eine spezielle Abbildung

jetzt zu betrachten. Nicht mehr wie das Pi vom Tangentialraum, vom Totalraum nach zur

Mannigfaltigkeit, sondern andersherum. Das würde uns Vektorfelder und Schnitte geben.

Ich habe jetzt relativ viel gesagt. Machen wir mal eine Wiederholung und Motivation.

Ich mache jetzt eine Schematik. Das ist eine schematische Zeichnung, was ich jetzt hier tun werde.

Es wird keine tatsächlich Maßstabsgetreue, nur schematisch. Und dann haben wir über M

das Tangentialbündel definiert. Das zeichne ich hier vielleicht mal mit Weiß einfach an.

Und zwar mache ich das jetzt folgendermaßen. Ich benutze diesen Trick mit der Dysjunken-Vereinigung,

dass an jedem P, das ich hier habe, kriege ich irgendeinen Vektorraum, TP, M, nämlich

genau der Tangentialraum. Das mache ich für jedes P aus M. Dann kriege ich hier irgendwie

so etwas. Und es gibt mir dann das Tangentialbündel. Es ist nicht für jede Mannigfaltigkeit gegeben,

dass sich das Tangentialbündel darstellen lässt als Mannigfaltigkeit Kreuz R. Das haben wir gesehen.

Das sind spezielle Mannigfaltigkeiten, sogenannte parallelisierbare. Trotzdem schematisch schauen

wir uns mal dieses Bild an. Wir hatten dazusätzlich noch diese Map P. Die bildete eben genau ab vom

Tangentialraum M nach M. Die hat abgebildet, ein Tupel PV auf P. Das war genau diese Map zurück,

weil wir erinnern uns, wir haben TM gerade definiert als die Vereinigung über alle P aus M.

Und jetzt hier aufpassen, P im kathäsischen Produkt mit TPM. Das ist der Tangentialraum.

Und das hat es uns sehr leicht gemacht, diese Rückidentifikation zu machen. Das heißt,

hier im Bild jetzt, was das Pi macht, das nimmt ein so ein Vektoraum hier und bildet den auf das

P zurück ab, das es erzeugt hat. Jetzt habe ich P da drüben schon geschrieben, schauen wir hier Q hin.

Und das ist eben der Tangentialraum TQM und das macht Pi. Das bildet für jeden so eine

Faser, die wir hier haben. Wir haben auch letzte Stunde besprochen, warum das Faser heißt oder was

Fasern sind. Das bildet es zurück auf Q. Was wir heute betrachten wollen, ist ein bisschen anders.

Und zwar wollen wir jetzt in diesem Totalraum sozusagen eine Kurve betrachten, die irgendwie

hier durchgeht, folgendermaßen. Und zwar wollen wir betrachten Sigma, das bildet jetzt genau

anders herum ab, von M nach Tm. Und das soll ein sogenannter Schnitt werden, noch unter zusätzlichen

Bedingungen. Aber schonmal, das soll es werden. Heißt, das ist jetzt genau andersrum. Für

irgendein Q, das ich hier bekomme, gibt mir das jetzt einen Punkt hier im Totalraum oder

im Tangentialbündel. Und uns fällt apriori schonmal auf, ich habe es jetzt so suggestiv

gezeichnet, dass das Sigma, das Q, auch wirklich wieder in den Tangentialraum von TQ abbildet.

Das wollen wir später auch haben. Aber es ist wichtig zu sehen, dass wenn wir hier wären,

müssten wir ja nicht unbedingt in den Tangentialraum da hoch abbilden, sondern wir könnten theoretisch

ja auch hier rüber abbilden. Aber genau so eine Situation wollen wir ausschließen später.

Okay, das ist mal das erste Bild, was man da im Kopf haben sollte. Eine zweite Motivation,

die ganz ähnlich ist, ist der Graph von Funktionen oder Funktionsgraph, den Sie sicherlich kennen.

Wir wiederholen es nochmal. Wenn also es sei, wenn wir es mal f, na, bleibt doch stehen.

Okay, wir betrachten jetzt f mal als Funktion. Und f soll eben als Funktion jetzt genau von

m in den r hoch n abbilden, meinetwegen. Also nach r hoch n. Dann betrachten wir den Graph.

Was ist der Graph? Das ist eine Menge. Und zwar ist es die Menge aller p, f von p, sodass

t aus m ist. Okay, kennen Sie vielleicht den Graph von der Funktion? Wir sehen jetzt hier

insbesondere, dass der Metallmenge von m Kreuz r hoch n ist. Heißt gerade in dem Fall, wo wir ein

triviales Bündel haben, werden solche Sachen immer wieder auftauchen und sind wir mal an dem Fall

angenommen. Wir würden jetzt hier auf ein Tangentialbündel betrachten mit der klassischen

Projektion p. Dann sehen wir ja, dass p von p, f, p uns gerade wieder p gibt. Das ist genau die