Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Willkommen zur jetzt mittlerweile schon vierten Vorlesung zur Linie an Eigebran.

Ich werde heute so gut, dass mir möglich ist, Professor Knappner vertreten. Mein Name

ist Raphael Schulz. Ich bin einer der Assistenten zu dieser Veranstaltung. Also ganz generell,

wenn Sie organisatorische Fragen haben, Fragen zur Übung, meine ich wegen auch inhaltliche

Fragen der Vorlesung, können Sie gerne zu mir oder zu meinen Kollegen kommen und Fragen

stellen.

Gut, Herr Knappner hat am Mittwoch schon den reellen Vektoraum Rn eingeführt. Ich möchte

das kurz wiederholen. Zunächst einmal hatten wir Rn als die Mengengesamtheit, die Menge

aller n-Tupel definiert und auf diese Menge aller n-Tupel wurden jetzt zwei Operationen

definiert. Zum einen eine Addition, komponentenweise Addition und zum anderen eine Skalarmultiplikation.

Man konnte eine Skala, eine reelle Zahl multiplizieren an diesem Tupel. Das war definiert als die

Multiplikation dieses Skalars mit jedem Tupel-Element, mit jeder Koordinate und insbesondere dadurch,

dass es komponentenweise definiert war, galten diese acht Eigenschaften, diese Addition und

Multiplikation. Zum einen die Kommutativität, das heißt x plus y, das ist gleich wie y plus

x, das kennen wir aus den reellen Zahlen. Ebenso die Assoziativität, das bedeutet, es ist

egal, man hat drei Operanten und welche dieser drei man zuerst miteinander summiert. Ob man

erst x plus y und dann zusätzlich das z summiert oder erst y plus z und dann das x mit hinzu

addiert. Außerdem hat man die Existenz eines neutralen additiven Elements, das ist der

Null-Tupel, also jede Komponente davon ist Null und für jedes Element x hat man auch

ein inverses Element, das heißt, addiert man dieses inverse Element zu diesem x hinzu, bekommt

man gerade das Neutralelement Null. Gut, nachdem die Addition komponentenweise definiert war,

ist ziemlich klar, wie diese neutralen Elemente und auch das inverse Element aussehen. Es

ist gerade komponentenweise entweder das additive Neutralelement Null oder eben komponentenweise

das additive inverse Element von einer Zahl x1 für die erste Komponente ist gerade minus

x1. Gut, die Skalarmultiplikation hat auch einige Eigenschaften. Zum einen ist sie auch

assoziativ, das heißt, in dem Sinne, dass man, wenn man zwei reelle Zahlen an einen

Tupel multiplizieren möchte, kann man entweder erst diese beiden Zahlen miteinander multiplizieren

und dann diese reelle Zahl lambda mu skala multiplizieren an das Tupel x oder man skala

multipliziert nacheinander mu an das Tupel x und dann lambda an das Tupel mu x. Das macht

keinen Unterschied, man muss sich da also keine Gedanken machen, was man zuerst rechnet.

Außerdem gibt es auch ein multiplicatives neutrales Element, das ist gerade die reelle

Zahl 1, 1 multipliziert mit einem Tupel, bleibt gerade der Tupel und was wir noch haben,

um die zwei Operationen jetzt Addition und Skalarmultiplikation irgendwie verknüpfen

zu können und damit dann auch rechnen zu können, sind Distributivgesetze. Also lambda plus

mu x ist lambda x plus mu x und lambda x plus y ist lambda x plus lambda y. Gut, das sind

ganz nette Eigenschaften und außerdem werden hier noch mehr Eigenschaften erfüllt, aus

den Eigenschaften lässt sich recht leicht, lassen sich recht leicht solche weiteren

Eigenschaften ersehen. Das haben sie aber am Mittwoch schon gemacht. Ich möchte nochmal

kurz auf diese Definition hinaus. Also sie haben eine Menge, in unserem Falle war das

R hoch N, also die Menge aller N-Tupel mit reellen Komponenten und diese sind versehen

mit dieser Addition und dieser Komponenten, heißt Skalarmultiplikation und wir nennen

dann diese Menge R hoch N, einen N-dimensionalen Vektoraum über R oder Skalar Vektoraum über

R, wenn diese Operationen, gerade diese Definitionen, diese acht Eigenschaften hier erfüllen.

Gut und jedes Element aus diesem R hoch N, nennen wir jetzt weiterhin nicht mehr Tupel,

sondern Vektor oder Punkt. Da glaube ich hat der Knab am Ende der Vorlesung am Mittwoch

schon angedeutet, dass das vielleicht ein bisschen Verwirrung stiften kann, denn in

der Schule hatte man den Punkt als Punkt kennengelernt und einen Vektor als Pfeil. Wir werden hier

den Begriff eines Vektors, den Begriff eines Vektoraums viel abstrakter auffassen. Also

in unserem Falle, gerade in dieser Vorlesung hier, sind alle Elemente, die wir behandeln,