Hallo, wir machen jetzt weiter mit dem Thema Integration. Integration ist im Wesentlichen

die Umkehroperation zur Differenziation. Also im letzten Kapitel 3.6 haben wir uns damit

beschäftigt, dass wenn wir eine Funktion haben f von x, ja zum Beispiel die Logarithmus

von x, dann wollten wir herausfinden, was ist denn die Ableitung f' von x. In dem Fall

haben wir herausgerechnet, dass man das schreiben kann als 1 durch x. Und die ungekehrte Operation,

das heißt zu einer Funktion klein f von x, also jetzt zum Beispiel 1 durch x, wollen

wir jetzt eine Funktion finden, groß f von x, sodass f' von x gleich f von x ist. Also

hier ist es natürlich sehr einfach, weil wir das hier wissen, das heißt wir wissen,

dass eine Funktion groß f von x, sodass die Ableitung von 1 durch x ist, gegeben ist durch

Logarithmus von x. Aber angenommen ich sage jetzt ja ok, was denn jetzt hier mit klein

f von x ist gleich Logarithmus von x. Ja was ist denn hier die Funktion groß f von x, sodass

f' von x gleich Logarithmus von x ist. Das werden wir jetzt noch in dieser Vorlesung

herausfinden, was das ist, aber dieser Prozess von einer Funktion zu dieser Funktion zu kommen,

sodass deren Ableitung die ursprüngliche Funktion ist, das nennt man das Finden der

Stammfunktion. Und der Unterschied zum differenzieren oder zum Ableiten ist, dass es beim Ableiten

ganz klare Regeln gibt und ich kann Ihnen die komplizierte Funktion der Welt aufschreiben,

ja 17 Zeilen lang von komplizierten Verschachtelungen, Produkten und Kuzienten von Funktionen, aber

wenn Sie sich akribisch an die Regeln halten, die wir besprochen haben, also die Summenregel,

die Produktregel, die Kuzientenregel, die Kettenregel und so weiter, dann kann da eigentlich

nichts schiefgehen. Sie können sich theoretisch verrechnen, aber wenn Sie die Regeln einfach

nur befolgen und sich nicht aus der Ruhe bringen lassen, dann können Sie die Ableitung ausrechnen.

Das Finden der Stammfunktion ist hingegen deutlich komplizierter, weil es keine klaren

Rechenregeln gibt, wie man aus einer Funktion die Stammfunktion bekommt. Das Stammfunktion

berechnen ist eher ein Art Ratespiel, man wird mit der Zeit besser darin, aber es gibt

sehr viele Funktionen, für die keine analytisch darstellbare Stammfunktion wird. Also zum

Beispiel, da bringen wir ein bisschen Ordnung hier rein, Beispiel für die Funktion f von

x ist gleich, Entschuldigung, e hoch minus x², da gibt es kein f von x, wo man hier so

einen Term hinschreiben kann. Es gibt ein Groß f von x, aber man kann es nicht analytisch

hinschreiben in elementaren Funktionen. Also das ist jetzt nicht irgendwie ein Logarithmus

oder eine exponential Funktion oder ein Polynom oder ein Cosinus oder ein Sinus, sondern es

ist etwas, was einfach nur dadurch definiert ist, dass es eben die Stammfunktion von dieser

Funktion ist, aber sie können es nicht hinschreiben. Sie können nicht einen Term hinschreiben,

der dann einfach zu interpretieren ist. Nichtsdestotrotz kann man das dann oft doch machen, in vielen

Beispielen, die wir uns anschauen werden. Und das Bilden der Stammfunktion ist also

jetzt grob definiert folgendes Problem. Wir haben eine Funktion auf einem Definitionsbereich

klein f und eine Funktion Groß f heißt Stammfunktion von klein f, wenn die Funktion f differenzierbar

ist und ihre Ableitung der Funktion ist, mit der wir gestartet haben. Das heißt Ableiten

und Stammfunktion bilden sind gewissermaßen zueinander inverse Operationen. Das Ableiten

an der Stammfunktion von Groß f und f ist klein f und die Stammfunktion von f Strich

ist f. Eine Stammfunktion. Der Knackpunkt ist nämlich hier, die Stammfunktion ist niemals

eindeutig, das werden wir uns gleich anschauen. Jetzt haben Sie vielleicht auch noch so etwas

im Kopf, Stammfunktion bilden, also falls Sie das in der Schule schon gemacht haben,

Stammfunktion bilden, das hat mit Integrierern zu tun, da geht es um Flächeninhalt und so

weiter. Das wollen wir mal kurz an den Rahmen schieben, das hängt damit zusammen, aber

es ist eher überraschend, dass es so ist. Im Moment geht es nur darum, zu einer Funktion

die Stammfunktion zu erraten, so dass wenn wir diese ableiten, wir die Funktion wieder

zurückbekommen. Das ist eine Art Puzzle oder eine Trätsel.

Zum Beispiel, wir fangen mal an, x hoch n, das Monom, also x hoch n, wobei n jetzt nicht

minus eins ist. Das hat als Stammfunktion die Funktion eins durch n plus eins mal x hoch

n plus eins, denn die Ableitung von eins durch n plus eins mal x hoch n plus eins, die ist