In diesem Video wollen wir die Substitutionsregel für die Integralrechnung herleiten, die ein

wichtiges mathematisches Werkzeug darstellt, das uns in manchen Lagen hilft, ein schier

unmögliches Integral so zu transformieren, dass wir eine Integral bestimmen können.

Und ähnlich wie bei der partiellen Integration leitet sich diese Substitutionsregel ab aus den

Rechenregeln der Differenziation. Bei der partiellen Integration war das die Produktregel und im Fall

der Substitutionsregel wenden wir die Kettenregel für die Ableitung an und können daraus eben diese

Rechenvorschrift gewinnen. Wir beginnen mit einem Satz, der erklärt, wie die Substitutionsregel aussieht.

Also Satz, Substitutionsregel. Wir klären zuerst einmal die Voraussetzung, wann wir diese Regel

anwenden können und die muss eine gewisse Gestalt haben, sonst funktioniert sie nicht.

Wir nehmen zuerst einmal eine Teilmenge aus R und wir brauchen noch ein Intervall, ein abgeschlossenes.

Das nennen wir A und B, auch Teilmenge R. Dann betrachten wir zwei Funktionen. Sie erinnern sich,

bei der Kettenregel haben wir sowas gehabt wie eine äußere Funktion F angewendet auf eine innere

Funktion G. Ähnliches brauchen wir auch hier, sonst können wir die Substitutionsregeln nicht

richtig formulieren. Wir brauchen also eine integrierbare Funktion F, sei außerdem F-Bilder

ab von der Teilmenge I nach R und die muss integrierbar sein. Und für die innere Funktion G wählen wir

eine Funktion, die stetig differenzierbar sein muss. Das liegt daran, dass wir eine Ableitung

benötigen für die Kettenregeln. Die Funktion G bildet ab vom Intervall A, B nach I in diese Menge.

Das macht auch Sinn, denn im Endeffekt haben wir dann G angewendet auf das Intervall A, B,

bildet ab nach I und das, was rauskommt, liegt alles in dieser Teilmenge I und darauf können wir

dann F anwenden, das eben in I seinen Definitionsbereich hat. Das heißt, das ist alles

wohl definiert und diese Funktion G sei eine stetig differenzierbare Funktion.

Ich kürze ab mit div bar.

Dann können wir folgende Substitutionsregeln formulieren.

Dann gilt die folgende Substitutionsregel.

Und zwar besagt die, dass wenn wir ein Integral der Form haben, Integration von A bis B über

eine Funktion F angewendet auf eine Funktion G von x multipliziert mit der inneren Ableitung

G' von x dx, dann können wir diese Funktion G aus dem Integranten entfernen und auf die

Integrationsgrenzen rüber hieven. Das heißt, wir halten jetzt eine Integral nicht mehr von A bis B,

sondern von G von A bis G von B nur noch über die äußere Funktion F in einer neuen Integrationsvariable

in y, dy. Das ist auch schon alles, was die Substitutionsregel sagt. Es hat eine besondere Form,

wie man sieht. Nicht jedes Integral hat exakt die Form wie auf der linken Seite dieser Gleichung.

Da muss man oft bei der Substitutionsregel ein bisschen rumknobeln, um dorthin zu kommen.

Wir werden gleich im Anschluss an diesen Satz ein paar Beispiele sehen, die verdeutlichen,

wie wir dieses Werkzeug uns zu Nutze machen können. Wir wollen kurz den Beweis skizzieren,

um zu sehen, wo kommt die Substitutionsregel her. Der Beweis ist relativ einfach. Wir geben uns

eine Stammfunktion von Kleine vor, die nennen wir Groß F, also sei F eine Stammfunktion von Kleine F.

Und dann wissen wir aus der Kettenregel folgendes. Die Kettenregel für die Differenziation,

die besagt uns Folgendes, wenn wir die Ableitung von Groß F verknüpft mit G betrachten, also F

angewendet auf G, das Ganze wollen wir ableiten in einer Stelle x, dann ist es dasselbe wie F'

die äußere Ableitung ausgewertet in G von x, multipliziert mit der inneren Ableitung G' von x.

Jetzt haben wir aber nach Voraussetzung gesagt, Groß F ist eine Stammfunktion von F, das heißt,

wir können das Ganze noch etwas vereinfachen in F von G von x, multipliziert mit G' von x. Das

erinnert uns schon sehr an den Integranten oben in der Formel, das heißt, das können wir jetzt

ausnutzen. Damit erhalten wir. Jetzt schreiben wir mal die rechte Seite ins Integral, das heißt,

wir haben ein Integral von A bis B, F angewendet auf G von x, multipliziert mit G' von x dx. Wir haben

jetzt gesehen, nach der Kettenregel ist das nichts anderes wie das Integral von A bis B über die

Stammfunktion angewendet auf G und das Ganze ableiten. Also Groß F angewendet auf G, abgeleitet x dx.

Naja, da wissen wir jetzt, wenn ich einen Integranten habe, der eine Ableitung darstellt,

dann kann ich die Stammfunktion ja direkt ablesen. Das heißt, ich bekomme hier nichts anderes raus,

wie das ist dann die Stammfunktion der folgenden Form F angewendet auf G und das Integral können