Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir hatten jetzt neben den expliziten Rungekutterverfahren auch implizite Rungekutterverfahren

kennengelernt und ohne Beweis zumindest festgestellt, dass man bei impliziten Verfahren diese große

Schwierigkeit hinsichtlich der möglichen Konsistenzordnung, die wir bei den expliziten

haben, wir werden, das haben wir zwar nicht erwähnt, aber wir werden es als Übungsaufgabe

jetzt auf dem aktuellen Blatt haben, man kann bei Stufe L höchstens bis zur Konsistenzordnung

L gehen. Als allgemeinen Satz haben wir es nicht erwähnt, aber wir haben sozusagen

die konkreten Aussagen erwähnt, die dann sagen, ab einer gewissen Level, ich glaube

vier oder fünf, bricht das dann ab und dann ist auch L nicht mehr erreichbar und die

Lücke wird immer größer. Also der Aufwand, explizit ein Verfahren sehr hoher Ordnung

zu erreichen, wird immer größer und da bieten sich schon allein in der Hinsicht die impliziten

Verfahren an. Wir werden später einen für meinen Geschmack noch wesentlich gravierenderen

Grund kennenlernen, weshalb man eigentlich bei schwierigen, was immer das jetzt noch

genau heißt, Problemen implizite Verfahren nehmen sollte. Das ist natürlich auch ein

Preis zu zahlen. Implizite Verfahren sind halt schwieriger zu analysieren zum einen,

das werden wir gleich noch mal ein bisschen anschauen und zum anderen ist der Aufwand

ein implizites Verfahren durchzuführen entsprechend erhöht, weil wir eben nicht nur Auswertungsoperationen

mit F bzw. elementare Operationen endlich eine Anzahl haben, sondern wir müssen ein nicht

lineares Gleichungssystem lösen, etwas was wir letztlich exakt nicht tun können im Allgemeinen.

Vielleicht schauen wir uns noch mal an, wie das aussieht und was man da machen kann. Neutral

geschrieben, es geht ja um die Bestimmung dieser Werte KI im Runge-Kutter-Verfahren,

mit Hilfe deren Linear-Kombination dann der Schritt letztendlich von yj nach yj plus 1

gemacht wird. Das heißt also die KI können wir uns vorstellen als Näherungen für F,

das heißt also als Näherungen für Ableitungen der Näherungslösung, wobei unsere Gitterfunktion

ja eigentlich keine Ableitungen haben, weil sie nur diskret formuliert ist an Zwischenpunkten

zwischen tj und tj plus 1. Für diese, wir haben also da 11 Stück in einem Verfahren,

11 Ordnung und diese unbekannten sind wiederum Vektoren der Länge n, wenn wir mit einem System

eben in n Komponenten zu tun haben. Das heißt, insgesamt suchen wir ein Vektor im Rnl, ist

aber natürlicher das aufzufassen als einem Vektor im Rl, wo die Einträge gegebenenfalls

Rn Vektoren sind. Vielleicht sollten wir nochmal zurückblättern, dass wir nochmal das Gleichungssystem

sehen, wo es tatsächlich auch auf der Seite hier steht. Also blättern wir nochmal ganz

schnell zurück durch all die verschiedenen Varianten. Durch hier sehen wir nochmal die

Update Formel, die dann mit der Linearkombination der KI arbeitet, genauso wieder bei den expliziten

Verfahren und hier sehen wir nochmal in der letzten Zeile die implizite Definition der KI

und wir sehen, das ist tatsächlich eine Fixpunktform, die wir da haben. Das heißt also der Iter-Abschnitt

sozusagen des unbekannten Vektors ergibt sich in einer nicht-linearen Abhängigkeit von

allen Abschnitten. Das heißt also wir haben hier eine Gleichung, wenn wir das wie gesagt

neutral als Xi bzw. insgesamt als Vektor X schreiben, haben wir die Gleichung des Typs

X, ist eine nicht-lineare Funktion von X. Das heißt also es bietet sich an den wichtigsten,

einfachsten oder wie auch immer, wahrscheinlich beides Satz der algorithmischen Behandlung

von Gleichungssystemen, nämlich die Fixpunkt-Iteration, da irgendwie zur Rate zu ziehen und zu schauen,

was man damit Fixpunkt-Iteration machen kann. Das heißt also das Ziel ist hier letztendlich

ganz einfach auf dieses Gleichungssystem Fixpunkt-Iteration anzuwenden, das steht jetzt hier hinten. Wir

haben also sozusagen ein Näherungsvektor mit dem oberen Index R-1, wir setzen den in die rechte

Seite ein und berechnen damit den nächsten mit dem Index R versehenen Näherungsvektor. Jetzt haben

wir hier noch eine zusätzliche Notation, dieses Komma I, das bezieht sich jetzt auf diese einzelnen

gerade angesprochenen Komponenten X1 bis XL und was jetzt hier vor dem Komma gegebenenfalls

weggelassen ist, das wäre der Schritt des Errungekutterverfahrens, in dem wir sind,

also der Schritt von J bis J plus 1. Aber das können wir in der Notation erstmal ausblenden,

wir sind eben in irgendeinem Schritt und stellen uns jetzt die Frage, wie ist dieses Gleichungssystem