Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. In der letzten Vorlesung haben wir ja das Kapitel über lineare Vektorräume

begonnen. Wir haben auch schon definiert, was ein linearer Vektorraum ist. Sie haben zunächst

eine Menge V, die Elemente sind dann später die Vektoren und dazu brauchen sie noch den

Zahlenkörper, also die reellen Zahlen, die wir da haben. Und in einem Vektorraum haben

sie noch die Möglichkeit, ihre Elemente zu verknüpfen. Sie haben in dem Vektorraum eine

Addition, plus aus zwei Vektoren können sie einen Summenvektor machen. Das ist dann wieder

ein Element dieser Menge und außerdem gibt es eine Skalar-Multiplikation. Sie können also

jeden Vektor mit so einer reellen Zahl multiplizieren und dann erhalten sie auch wieder einen Vektor.

Also was ist ein linearer Vektorraum? Lineare Vektorräume hatten wir definiert mit der

Addition im Vektorraum plus und dann noch der Skalar-Multiplikation. Für die Skalar-Multiplikation

mache ich hier mal so ein Malsternchen, aber tatsächlich lässt man diesen Malpunkt dann

immer weg. Man schreibt dann 2V, wenn man meint zweimal V und diese beiden Verknüpfungen

sollten natürlich noch gewisse Eigenschaften haben. Die üblichen Rechengesetze sollten gelten und das

waren die A- bis K-Aktionen, die Vektorraum-Aktionen. Das war so etwas wie Kommutativität,

Assoziativität und diverse Distributivgesetze, gemischt Distributivgesetze. Und diese Struktur,

die haben wir jetzt definiert. Und jetzt wollen wir in dieser Struktur arbeiten und wenn ich jetzt

K-Vektoren habe, V1 bis VK und K-Koeffizienten, Alpha 1 bis Alpha K, was kann ich dann machen?

Ich kann jeden Vektor mit einem passenden Koeffizienten multiplizieren und dann das

Ganze aufaddieren. Da habe ich also alle Operationen verwendet und das Ganze, was da entsteht, nennt man

eine Linearkombination. Und das ist hier ein grundlegender Begriff in diesen linearen Vektorräumen,

das definieren wir jetzt ganz ausführlich. Definition, es seien also U1 bis UK Vektoren aus

unserem Vektorraum V. Dann heißt jeder Vektor

der Form

V ist gleich. Der erste Koeffizient Alpha 1, das ist eine reelle Zahl, wird multipliziert mit U1.

Dann kommt der zweite Koeffizient Alpha 2, der wird mit dem zweiten Vektor U2 multipliziert.

Und so geht es weiter bis zum letzten Koeffizienten Alpha K, der wird mit dem Vektor UK multipliziert.

Das nennt man dann eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.

Mit Alpha 1 bis Alpha K Element L eine Linearkombination

von U1 bis UK.

Und mit diesem Begriff der Linearkombination kann man jetzt einen weiteren wesentlichen Begriff

definieren. Wenn Sie zwei Pfeile haben, die in der Ebene, also sagen wir im R2 die gleiche

Richtung haben, sagen wir so ein grüner Pfeil und dann entgegengesetzt so ein oranger Pfeil,

dann können Sie hier natürlich auch Linearkombinationen aus diesen beiden Vektoren

bilden und die liegen dann alle auf der gerade durch die beiden Punkte. Und so eine grade,

das haben Sie im Gefühl, ist ja eher etwas eindimensionales. Also hier kriegt man nicht

die ganze Ebene, sondern nur einen Teil und diesen grünen Pfeil kann man ja auch durch den

roten Pfeil ausdrücken. Also wenn man einen Faktor hat mit einem Minuszeichen, dann ist der

rote sagen wir minus zwei Drittel mal der grüne Pfeil oder so etwas. Und diese Situation, wenn man

einen Vektor als Linearkombination von anderen Vektoren ausdrücken kann, nennt man die Vektoren

sind linearabhängig. Das definieren wir jetzt. Die Vektoren u1 bis uk

heißen linear unabhängig.

Das kommt dauernd vor und deshalb führen wir als Abkürzung die Schreibweise l.u. ein.

Wenn es nicht so ist wie hier in dem Bild, also wenn man keinen der Vektoren als Linearkombination

der übrigen Vektoren ausdrücken kann. Wenn keiner dieser Vektoren eine Linearkombination

der übrigen ist. Also dann heißen diese Vektoren linear unabhängig und wenn man das jetzt verneint,

die logische Verneinung bildet. Wenn das also nicht gilt, dann heißt es ja man kann einen der

Vektoren als Linearkombination der übrigen darstellen und wenn das geht, dann heißen

diese Vektoren linear abhängig. Also sonst, andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig.

Das kürzen wir ab la.