weiter geht es mit aufgabe 2 wir haben eine funktion gegeben von dieser form hier

wenn sie sich die auch plotten in walford oder so die ist auf der positiven x

achse definiert als x squared mal sin von 1 durch x und im nullpunkt und links

davon durch null fortgesetzt jetzt habe ich die frage ist es hier eine

stilige funktion dann ist ja eine stilweiser definierte funktion bei

solchen funktion da muss man immer ein bisschen vorsicht sein es könnte sein

dass ein sprung stattfindet wenn man von positiv auf null spricht sozusagen

das heißt was wir jetzt überprüfen müssen ist

limas von x von oben gegen null von f von x und zu zeigen ist dass das gleich

nur ist der grenzwert von links von x x von links gegen null oder von unten gegen

null ist natürlich auch gleich null weil die funktion konstant gleich null ist

auf der ganzen linken hälfte der x-achse das heißt da muss man keine

gedanken machen das einzige was wir checken müssen ist dass der grenzwert von rechts gegen

nullpunkt auch null ergibt also das hier f von null. okay was ist das? der limas von x von oben

gegen null von f von x ist der grenzwert von x geht von oben gegen null von x

quadrat sinus von 1 durch x und das hier ist beschränkt durch also betraglich

durch 1 also plus minus 1 meinetwegen und das hier kombiniert gegen null

das heißt nach dem beschränktheitskriterium für folgen oder auch für

funktionen wissen wir dass das tatsächlich gleich null ist. also das

hat er glaube ich keinen richtigen namen wir haben es mal in der vorlesung bewiesen

beschränktheitskriterium nenne ich das mal hier

also ist der grenzwert des funktionswerts von rechts tatsächlich

gleich den funktionswert im nullpunkt und der von links ist ohnehin schon

gleich den nullpunkt also ist f stetig

die nächste aufgabe ist f' von null zu bestimmen und f' von null ist jetzt

darf man jetzt nicht auf die d verfallen dass man hier was ableitet und dann x

gleich null einsetzt das geht natürlich nicht weil das ist ja nicht im nullpunkt

definiert das ist das die funktionswerte in völlig anderen punkten

das heißt hier muss man tatsächlich die h-methode benutzen weil man eben gerade

an so einer sprungstelle ist also das ist jetzt der grenzwert von h geht gegen null von f

von h minus f von null durch h wir müssen uns hier aufpassen weil grenzwert von h

gegen null das heißt nicht dass h positiv sein muss

sondern müssen alle möglichkeiten überprüfen also erste frage ist ist dieser

grenzwert eindeutig ja wir wissen wir müssen dazu

von oben gegen null und von unten gegen null separat betrachten also machen wir

das der einfache grenzwert ist der von links der grenzwert von h geht von links

gegen null von unten gegen null von f von h minus f von null durch h ist der

grenzwert von h geht von unten gegen null f von h für negative funktionswerte

da ist die funktion konstant gleich null definiert im nullpunkt ist sie auch

konstant gleich null das heißt hier steht null minus null durch h das ist

einfach gleich null egal was hier unten passiert ok gut jetzt also der andere grenzwert von

h geht von oben gegen null von f von h minus f von null durch h

so jetzt müssen wir den funktionswert einsetzen und dieser funktionswert ist

das was hier oben dran steht h² mal sin von 1 durch h

minus f von null ist immer noch null geht halt durch h das ist der grenzwert von h

geht von oben gegen null von h mal sin von 1 durch h und das ist gleich null aus

dem gleichen grund wie oben das gegen null das ist bestrengt also

komplexe hier gegen null f' von null ist also gleich null

in talofk mit cesa f' von x bestimmen für x ungleich null

f' von x wenn x kleiner null ist dann ist f' von x natürlich gleich null