Wir haben im letzten Video den Begriff der totalen Differenzierbarkeit einer Funktion

eingeführt, die auch vectorwertig sein kann.

Und in diesem Video wollen wir untersuchen, warum der Begriff der totalen Differenzierbarkeit

eigentlich ein stärkerer Begriff ist als nur Partiere-Differenzierbarkeit.

Dafür beginnen wir direkt mit folgendem schönen Satz, der uns genau diese Eigenschaften liefert.

Das heißt, wir machen den Satz zur totalen Differenzierbarkeit.

Wir brauchen wieder eine offene Teilmenge, wie immer.

Also sei U Teilmenge R hoch N eine offene Teilmenge.

Und wir betrachten jetzt eine total differenzierbare Funktion in einem Punkt.

Und sei f, die abbildet von U, nach R hoch M, also der allgemeine vectorwertige Fall,

eine im Punkt x aus U total differenzierbare Funktion, kürzerseits mit total diffbar.

Das heißt, im Prinzip, wenn sie total differenzierbar ist, dass solch eine Matrix existiert, dass

das Fehler-Funktional die Gleichung aus der Definition erfüllt.

Ich schreibe es nochmal dazu, damit wir wieder am Thema sind.

Das heißt, es existiert eine Matrix L, die M Kreuz N groß ist, sodass das Fehler-Funktional,

das hatten wir definiert, als R von Xi, f von x plus Xi minus den Funktionswert an der Stelle

x minus der Linearisierung, also L als Matrix multipliziert an den Vektor Xi.

Die Gleichung, ich werde sie mal mit Sternchen hier benennen, erfüllt.

Und was war das nochmal für eine Gleichung?

Das war im Prinzip dieser Grenzwert.

Da wollen wir einmal kurz hin.

Genau, das heißt, dieses Fehler-Funktional, das muss schnell genug gegen Null gehen, sodass

eben der Limous hier eine Null darstellt und das Ganze wirklich konvergiert.

Das heißt, wenn sowas gilt, dann ist die Funktion total differenzierbar.

Das setzen wir hier voraus.

Und jetzt kommt der Clou an der ganzen Sache.

Dann wissen wir, wenn die Funktion total differenzierbar ist, dann ist sie stetig.

Wir haben hier zwei Aussagen.

Die erste ist f ist stetig.

Das ist sozusagen die Verallgemeinerung aus dem Eindimensionalen, wo wir dann wissen,

aus totaler Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit.

Das haben wir uns immer gewünscht.

Im Punkt x aus u.

Und außerdem, jede Komponente der Funktion f im Bildraum ist partiell differenzierbar

in x und die Einträge der Matrix sind gerade die partiellen Ableitungen.

Das heißt, aus totaler Differenzierbarkeit folgt partielle Differenzierbarkeit.

Das wollen wir auch noch festhalten.

Darum sehen wir, warum das ein stärkerer Begriff ist als die partielle Differenzierbarkeit.

Jede Komponente von f im Bildraum ist partiell differenzierbar.

Das machen wir an rot.

Und die Einträge der Matrix L sind gerade die partiellen Ableitungen von f in x.

Das heißt, wir können folgendes festhalten, nämlich, dass die partielle Ableitung in j-Koordinatenrichtung

von der i-Komponente der Funktion f, also wir schauen es nur ein Wert dieser vectorwertigen

Funktionen an, leiten ihn ab in die j-Koordinatenachse.

Das entspricht gerade dem Matrixeintrag Lij, falls die Funktion total differenzierbar ist.

Das ist wirklich eine tolle Sache.

Bevor wir das näher untersuchen und dazu eine Bemerkung machen, wollen wir diesen Satz

beweisen.

Der ist relativ einfach.

Er folgt quasi schon aus der Definition.