Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Dann können wir ja mal anfangen. Mal sehen, ob das rote Licht schon leuchtet.

Ja, doch, auch. In der letzten Vorlesung haben wir ja über Konvergenzkriterien für Reihen

gesprochen. Als erstes haben wir das Leibnizkriterium gesehen, das ist ein

Konvergenzkriterium für alternierende Reihen. Bei alternierenden Reihen hat man

immer abwechselnd eine positive und eine negative Zahl und die werden dann

aufsummiert. Und das Leibnizkriterium gibt eine hinreichende

Konvergenzbedingungen für solche Reihen.

Also wir haben eine Zahlenfolge aus Zahlen BK, die sollen größer gleich null

sein, also alle positiv. Diese Zahlen sollen monoton fallen. BK plus 1 soll

also kleiner gleich BK sein. Und außerdem sollen die BKs gegen die null

konvergieren. Für K gegen unendlich. Die BKs bilden also eine Nullfolge. Also der

Liebes für K gegen unendlich der BKs ist gleich null. Und dann folgt, dass die

dazugehörige alternierende Reihe konvergent ist.

Das ist die Reihesumme K gleich null bis unendlich minus 1 hoch K mal BK.

Die ist dann konvergent. Das alternierende Vorzeichen wird hier durch

diese minus 1 hoch Ks erzeugt. Die sind ja abwechselnd immer minus 1 und 1.

Diese Reihe ist konvergent. Und wir haben eine Abschätzung für den Abstand

zwischen den Partialsummen und dem Grenzwert, dem Wert der Reihe.

Die nte Partialsumme ist Sn und der Betrag der Differenz zum Grenzwert ist

kleiner gleich BN plus 1. Also den Betrag des nächsten Summanden, den man dann

für Sn plus 1 braucht bis auf das Vorzeichen.

Also wenn man das Leibnizkriterium anwenden möchte, dann prüft man einfach

diese drei Bedingungen und wenn die alle erfüllt sind, dann folgt sofort die

Konvergenz. Ein Beispiel dazu. Wir betrachten die Reihesumme von K gleich

0 bis unendlich. Cosinus von K mal Pi mal 1 geteilt durch 2K plus 1.

Was ist jetzt der Cosinus von K mal Pi? Das kennen Sie ja schon.

Das ist ja für K gleich 0 der Cosinus von 0, das ist 1. Für K gleich 1 ist das

Cosinus von Pi, das ist minus 1. Und für K gleich 2 ist das der Cosinus von 2.

Pi, das ist wieder 1. Also das ist minus 1 hoch K einfach.

Das gilt Cosinus von K mal Pi ist gleich minus 1 hoch K. Und unsere BKs sind also

einfach hier die Zahlen 1 geteilt durch 2K plus 1.

Und die sind größer gleich 0. Und es gilt auch BK plus 1 ist kleiner

gleich BK. Diese Folge BK fällt monoton und außerdem ist es auch eine Nullfolge.

Also der Grenzwert Liemes für K gegen unendlich BK ist gleich 0.

Die Bedingungen aus dem Leibnizkriterium sind also erfüllt, deshalb konvergiert

die Reihe nach dem Leibnizkriterium.

Und hier ist die Konvergenz wirklich diesem Vorzeichenwechsel geschuldet.

Wenn man jetzt die Absolutbeträge der Summanden nimmt, also den Cosinus K mal Pi

durch 1 ersetzt, dann erhält man eine divergente Reihe.

Wenn man das tut, ersetzt man ja die Reinglieder durch ihre Absolutbeträge.

Und hier ist die Reihe nicht absolut konvergent. Also wenn man die Reinglieder

durch ihre Absolutbeträge ersetzt, verliert man hier die Konvergenz.

Also es gilt die Summe von K gleich 0 bis unendlich 1 geteilt durch 2 K plus 1

ist divergent.

Und solch einer Reihe haben wir dann bedingt Konvergenz genannt.

Also das ist hier unser Endergebnis.

Diese Reihe ist also bedingt konvergent.

Das heißt, sie ist nicht absolut konvergent, aber konvergent.

Wir haben ja in der letzten Vorlesung noch weitere Konvergenzkriterien gesehen,