Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Also so hat man das als geometrische Reihe ausgedrückt und für die geometrische Reihe

kann man ja leicht den Grenzwert berechnen, weil man die geometrische Summenformel kennt.

Das war ja eines der Beispiele von Formeln, die man mit vollständiger Induktion beweisen konnte.

Und die Formel für Q hoch K war einfach 1 durch 1 minus Q, wenn der Betrag von Q echt

kleiner als 1 ist. Und ein Zehntel ist ja echt kleiner als 1, also haben wir 9 mal 1 durch 1

minus 1 Zehntel. Das ist der Wert dieser unendlichen Reihe und davon ziehen wir die 1 ab.

Und das müssen wir jetzt ausrechnen. Wir erhalten also 9 mal 1 und hier haben wir ja

9 Zehntel im Nenner. 1 minus 1 Zehntel sind 9 Zehntel und die 1 bringen wir auch auf diesen

Hauptnenner 9 Zehntel und dann kommt das heraus. Das sind also 9 mal 10 Zehntel und das sind

10 Zehntel minus 9 Zehntel, das ist nochmal 1 Zehntel. Also da kürzt sich alles weg,

die 10 kürzen sich weg, die 9 kürzen sich weg und es kommt natürlich 1 heraus,

wie Sie das auch schon kennen. Also diese Dezimalzahl-Darstellung können Sie sich auch

immer als unendliche Reihe vorstellen. Also im Allgemeinen stehen dann natürlich nicht überall

1, sondern auch mal eine 2, eine 3 oder also irgendeine Zahl von 0 bis 9 und die summieren

Sie auf und die unendliche Reihe ist dann die Dezimalzahl. Ich wiederhole auch nochmal

die formale Definition der unendlichen Reihen. Wir sind von Zahlenfolgen ausgegangen. Eine

Zahlenfolge AK, wobei das K von 0 bis unendlich läuft. Aus diesen AKs kann man jetzt Partialsummen

machen, wo man die ersten N plus 1 Folgenblieder aufsummiert. Diese Partialsummen haben wir

SN genannt, das sind endliche Summen. Diese Zahlen SN waren einfach die Summen von K gleich

0 bis N dieser Zahlen AK aus der Zahlenfolge und diese Partialsummen kann man jetzt ja

für jede natürliche Zahl bilden und insofern bilden die Partialsummen auch wieder eine

Zahlenfolge und diese Folge kann konvergent sein. Und das nennt man dann die Reihe. Also

die Reihe ist die Folge der Partialsummen SN von N gleich 0 bis unendlich und falls

diese Folge konvergent ist, dann hat sie auch einen Wert, nämlich den Grenzwert und dieser

Grenzwert ist der Wert der Reihe und den nennen wir S. Das ist also der Liebes für N gegen

unendlich dieser Folgen der Partialsummen und das schreibt man auch als unendliche Summe,

also Summe für K gleich 0 bis unendlich AK. Das heißt man summiert hier über alle Folgenblieder

auf. Um die Konvergenz dieser Reihe zu untersuchen, brauchen wir jetzt wieder Konvergenzkriterien.

Das kennen Sie ja auch schon von unserem Kapitel über die Zahlenfolgen, da hatten wir auch

Konvergenzkriterien, wie zum Beispiel aus Beschränktheit und Monotonie folgt die Konvergenz.

Also hier braucht man auch wieder Konvergenzkriterien, die auf die Reihen zugeschnitten sind. Und

wir haben bereits das Cauchy Kriterium gesehen, das ist ein Konvergenzkriterium, wo man den

Grenzwert nicht zu kennen braucht, also das S braucht man nicht zu kennen. Das Cauchy

Kriterium und das besagt, dass die Reihe dann konvergent ist, wenn die Restsummen, also

wenn man die ersten N abschneidet und wenn das N groß genug ist, dann sind die Restsummen

beliebig klein, wenn nur das N groß genug ist. Anders gesagt, in der Epsilon Delta Schreibweise,

für alle Epsilon größer 0 existiert eine Zahl Groß N von Epsilon, sodass für alle

M N größer als dieses Groß N von Epsilon gilt, der Betrag der Summe von K gleich N

bis M der aKs ist kleiner als Epsilon. Das ist das Cauchy Kriterium für die Konvergenz

der Reihe, das hatten wir ja in der letzten Vorlesung auch schon ausführlich hingeschrieben,

da habe ich es mal in der Quantoren Schreibweise hingeschrieben, die ist sehr kompakt, aber

Sie wissen ja, was das umgedrehte a heißt, das heißt für alle und das gespiegelte e

heißt es existiert oder es gibt, also wie klein auch immer ich das Epsilon mache, solang

es größer 0 bleibt, finde ich immer so eine Indexschranke Groß N, sodass wenn N und

M eben größer als dieses Groß N von Epsilon sind, diese Restsumme, der folgend wieder

vor der Index von N bis M läuft, vom Betrag her kleiner als Epsilon ist. Und hier aus

dem Cauchy Kriterium bekomme ich direkt auch ein einfaches hinreichendes Konvergenz Kriterium,

das Cauchy Kriterium ist ja äquivalent zu der Konvergenz, aber ich bekomme hier auch

ein einfaches hinreichendes Konvergenz Kriterium aus dem Cauchy Kriterium folgt und zwar kann