Nachdem wir in den letzten Vorlesungen relativ viele alte Konzepte der Mathematik wiederholen

mussten, vor allem insbesondere aus dem Bereich der gewöhnlichen Differentialgleichung, wollen

uns jetzt erstmalig mit neuen mathematischen Werkzeugen beschäftigen, nämlich den sogenannten

Phasenflüssen und Phasenporträts. Wir wollen in diesem ersten Video damit beginnen, uns zu

definieren, was Phasenflüsse sind und wie wir diese im Kontext von dynamischen Systemen verstehen

können. Außerdem wollen wir uns ein Beispiel ansehen, bei dem konkret ein Phasenfluss für

eine gewöhnliche Differentialgleichung ausgerechnet wird und wir überprüfen, dass dies eine Lösung der

gewöhnlichen Differentialgleichung bildet. Fangen wir zunächst einmal an, die besonders wichtige

Klasse dieser Phasenflüsse oder auch kurz manchmal Flüsse genannt einzuführen und dies wird uns auf

jeden Fall später dabei helfen, zeitabhängige Systeme wesentlich einfacher zu beschreiben.

Wir fangen also an mit einer Definition und wir werden das Ganze erst relativ allgemein halten

und später konkretisieren, zum Beispiel wenn es um konkrete Differentialgleichungen geht oder anhand

des Beispiels, das wir heute auch noch durchnehmen werden. Das heißt, wir beginnen mit folgender

Definition zu Phasenflüssen. Was brauchen wir dafür? Wir bewegen uns im Kontext von

gewöhnlichen Differentialgleichungen, das heißt wir brauchen erstmal wieder eine offene Menge,

die nennen wir U, Teilmenge des R hoch ns, und wir brauchen einen Parameterraum für unsere

unabhängigen Parameter und wir gehen wieder davon aus, dass wir alles zeitabhängig machen

im Kontext dynamischer Systeme. Das heißt, hier wählen wir unser Intervall i als Teilmenge von R0

plus, also die nicht negativen realen Zahlen. Jetzt betrachten wir eine spezielle Klasse von

Abbildung, nämlich eine Abbildung, die nennen wir Großphi, dann heißt die Abbildung, die wollen

wir Großphi nennen und die bildet ab von i Kreuz u, also auch ganz ähnlich wie bei den Differentialgleichungen

die Lösung aussehen, wieder in das offene Intervall u und das ganze nennen wir Phasenfluss,

falls gewisse Eigenschaften erfüllt sind. Wie angedeutet findet man manchmal auch in der Literatur

nur das Wort Fluss, also ich schreibe mal dahinter nur Fluss, falls folgendes gilt.

Wir müssen zwei Eigenschaften haben, die gegeben sind. Die erste ist, wenn wir den Zeitparameter

0 einsetzen, dann soll gerade aus dem Phasenfluss das zweite Argument wieder rauskommen. Das heißt,

zuerst fordern wir das Phi für 0 und x und x kann beliebig aus u sein, das soll immer gleich x sein

für alle x aus u. Das ist die erste Eigenschaft, die so einen Fluss erfüllen muss. Die zweite

Eigenschaft, die sieht wie folgt aus, da sagen wir die Funktion Phi angewendet auf den Funktionsparameter

t und im zweiten Argument, da hätten wir jetzt was aus u, da können wir auch die Funktion Phi wieder

selber einsetzen, da die dort hin abbildet, da sagen wir Phi von s und in einem Startpunkt x.

Das sieht jetzt ein bisschen kompliziert aus, das soll aber dasselbe sein, als wenn ich in Phi den

Zeitparameter entsprechend verschiebe, also ein Offset einrichte und s plus t wähle und im zweiten

Argument nämlich den Offset wieder rausnehme, das heißt hier hätte ich dann ein 0 x und da haben wir

schon nach der ersten Eigenschaft gesehen, das wäre dann ja nichts anderes wie Phi von s und t,

s plus t und hier hinten einfach nur das x. Ja, das muss man sich so ein bisschen vorstellen,

dass die Flussfunktion realisiert, dass man zu einem Punkt hingehen kann und von diesem Punkt

weiter und in dem man die ineinander einsetzt oder aber man startet vom ersten Startpunkt und geht

die Wegstrecke insgesamt länger. Das ganze können wir versuchen zu visualisieren, ich hoffe dadurch

wird es etwas intuitiver. Wir sagen wir fangen mit einem Punkt hier an und wir haben an diesem Punkt

einen Fluss, den wir realisieren wollen und sagen, dass das soll jetzt der Punkt x sein, wir

realisieren jetzt hier ein Phi von s in x, das ganze wird vielleicht ein zweidimensionaler Vektor,

wir bekommen ein Vektorfeld raus, das zeigt jetzt von mir aus in irgendeine Richtung, das ist unser

Phi s von x. Genau an der Stelle erhalten wir wieder einen neuen Punkt und das ist eben dieser Punkt Phi

s x und auf den wollen wir wiederum die Flussfunktion anwenden, das heißt wir kriegen hier wieder eine

Verbindung und das ganze wäre nichts anderes wie Phi t angewendet auf Phi s und x. Jetzt kann man sich

so ein bisschen vorstellen, dass das s und das t der Parameter ist, der bestimmt wie weit wir

eigentlich in eine gewisse Richtung gehen. Ja, also können wir uns vorstellen, dass das ganze Ding hier

irgendwie mit s zusammenhängt und die Länge dieses Vektors hängt irgendwie mit t zusammen,

soll kein s sein. Naja und jetzt sagt diese zweite Eigenschaft, die eine Halbgruppeneigenschaft