Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Gut, dann fangen wir an. Herzlich willkommen. Wir haben gestern abgeschlossen, dass Kapitel 2,

und zwar die allgemeine Lösung, dargestellt über die Fundamentalmatrix. Und wir haben

festgestellt, dass man die Fundamentalmatrix darstellen kann über die Eigenwerte und

Eigenvektoren der Systemmatrix A. Und auch in der mechanischen Darstellung, wenn ich dort das

Eigenwertproblem löse, ich im Prinzip natürlich die gleichen Eigenwerte und Eigenvektoren

heraus bekomme. Was wir auch gesehen haben, ist, dass man durch eine Modaltransformation

ein N-Freiheitsgrad-System im Prinzip immer auf N entkoppelte Ein-Freiheitsgrad-Systeme

zurückführen kann in dieser modalen Darstellung. Und wir wollen jetzt das Lösungsverhalten dieses

Ein-Freiheitsgrad-Systems weiter diskutieren. Und immer mit dem Hintergedanken, dass man

sozusagen natürlich für ein N-Freiheitsgrad-System diese Modale Zerlegung durchführen kann und dann

praktisch für jede Mode diese einzelne Diskussion durchführen kann, die ich jetzt hier mache.

Das ist das Abschnitt 3, in dem wir uns zuerst mit freien Schwingungen beschäftigen. Und zwar hier

zunächst der Schwinger mit einem Freiheitsgrad. Das kann ein physikalischer Freiheitsgrad sein,

so wie ich es gleich hinzeichne. Es könnte aber auch ein modaler Freiheitsgrad sein. Das heißt,

ich habe hier als Beispiel ein, ich zeichne jetzt ein richtiges Schwingungsfähiges System hin,

meinetwegen hier Feder, Dämpfer, hier unten hängt eine Masse dran. Das heißt, ich habe hier

Federsteifigkeit C, Dämpferkonstante D für einen viskosen Dämpfer. Ich habe hier die Masse M,

deren Lage ich hier durch eine Koordinat Y beschreiben kann. Und wenn ich, so wie wir das

Ganze am Anfang gemacht haben, Y aus der Gleichgewichtslage heraus zähle, dann brauche

ich mir um das Eigengewicht hier keine Sorgen zu machen. Das heißt, die statische Auslenkung ist

damit schon erledigt. Ich interessiere mich ja auch bloß für die Schwingung um diese Gleichgewichtslage.

Dann habe ich hier die Differentialgleichung, also massenmal Beschleunigung, das Gleichsumme

der Kräfte. Und ohne dass ich das jetzt richtig freischneide, gebe ich das einfach an. Das hatten

wir in einer der ersten Vorlesungen schon mal hier geleitet. Das kann ich jetzt alles auf eine Seite

bringen. dy plus cy gleich 0, also eine homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Und das

kann ich auf diese Normalform bringen, indem ich durch M teile und bekomme hier y2 plus 2 delta y

Punkt plus omega 0 Quadrat y gleich 0 mit omega 0 Quadrat oder Omega Quadrat schreibe ich mal die

Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung. Das hatten wir schon mal hergeleitet für ein echt

schwingungsfähiges System mit omega 0 gleich Wurzel C durch M. Und ich habe noch Delta hier,

das war, wenn das eine vernünftige Dämpfung ist, die Abklingenkonstante mit Delta ist gleich D durch

2 M. Physikalisch bedingt habe ich, wenn ich dieses System dahin zeichne natürlich tatsächlich eine

richtige Feder. Gilt hier, dass der Dämpfer und damit diese konstante Delta größer gleich 0 ist

und Omega 0 Quadrat auch größer gleich 0 ist. Allgemein wollen wir aber auch zulassen, dass Delta

und Omega 0 Quadrat aus R sind, das heißt auch negatives Delta und ein negatives Omega 0 Quadrat

möglich sein soll. Wenn sich an die ganz einleitenden Beispiele erinnern, dann tauchte

ein negatives Omega 0 Quadrat auf bei dem stehenden Pendel. Auch das kann ich auf diese

Differentialgleichungsform bringen, da gibt es keine rückstellende Kraft, sondern die Schwerkraft

schmeißt das Pendel um, das fällt um, das ist dann kein schwingungsfähiges System. Es gehorcht,

aber trotzdem diesen Typ Differentialgleichung allerdings mit einem negativen Omega 0 Quadrat

untersuchen, also den ganz allgemeinen Fall und negative Dämpfung, so eine Anfachung,

das kann ebenfalls natürlich auftauchen und wir wollen jetzt hier nochmal sozusagen als Wiederholung

ganz kurz den Lösungsweg skizzieren. Der Lösungsansatz ist natürlich Y von T ist

gleich irgendeine Konstante E hoch Lambda T mit im allgemeinen Fall die Konstante und das Lambda

aus C, also können komplexe Größen sein und Y Punkt von T ist dann natürlich Lambda mal C E hoch

Lambda T und Y2 gepunktet von T wäre Lambda Quadrat C E hoch Lambda T. Einsetzen in die

Differentialgleichung, liefert Lambda Quadrat plus 2 Delta Lambda plus Omega 0 Quadrat mal C mal E

hoch Lambda T ist gleich 0, also wenn ich das hier einsetze, dann kann ich dieses C E hoch Lambda T,

was hier überall steht ausklammern und es bleibt hier das Lambda Quadrat, hier 2 Delta Lambda und

hier das Omega 0 Quadrat stehen. So jetzt suche ich nicht triviale Lösung, das heißt Lösung für die