Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Grüß Gott zusammen. Wir haben angefangen uns mit impliziten Rungekutterverfahren,

die durch einen Kollokationsansatz entstehen zu befassen. Wir haben ja schon ein paar Mal

das diskutiert, dass es sich hier letztendlich um die direkte Vereigeminerung der Gauss-Quadratur

bei der numerischen Quadratur handelt. Insofern ist es nicht verwunderlich, dass jetzt ähnliche

Techniken wieder hier auftreten. Ich erinnere noch mal kurz bei der Gauss-Quadratur war es ja so,

zum einen hat man da Newton-Cotes-Quadratur gemacht, das heißt wir haben gewollt, dass dort

Polynome entsprechend in Grad ist, also so dass der dimensionale Ansatz genau der Anzahl der

Stützstellen entsprochen hat exakt integriert werden. Das kann man machen bei beliebigen

Stützstellen nennt man dann Newton-Cotes und wenn man dann noch die Stützstellen freigibt und sagt

also jetzt möchte ich aber einen möglichst hohen Grad von Polynomen exakt durch meine

Quadraturformel integrieren, das nennt man dann Gauss-Quadratur und dann kommt man auf ganz

spezielle Bestimmungsgleichungen, die zusammenhängend mit Nullstellen von orthogonalen Polynomen für

diese Stützstellen und hier sind wir jetzt in einer ähnlichen Situation. Beim Kollokationsatsatz

sind unsere eigentlichen Freiheitsgrade eben diese Stützstellen, die wir in dem Intervall

tj plus eins setzen, durch die Zahlen alpha i, das sind die Freiheitsgrade, wenn die einmal

festgelegt sind ist das ganze Runge-Kutter-Verfahren festgelegt, wie wir gesehen haben. Und die Aussage,

mit deren Beweis wir jetzt schon begonnen haben, ist die, dass die Konsistenzordnung eines solchen

durch Kollokation gegebenen und also insbesondere durch diese Kollokationspunkte alpha 1 bis alpha

l gegebenen Runge-Kutter-Verfahren sich folgendermaßen darstellt. Die Konsistenzordnung

ist sozusagen immer l, also Anzahl der Stufen, das sieht schon mal gut aus, dann sind wir schon

im Normalfall besser als ein explizites Runge-Kutter-Verfahren, natürlich mit wesentlich

höherem Aufwand, aber wir können diese Bedingt, diese Konsistenzordnung zu l plus m, m kleiner

gleich l, also zu maximal zwei l Steigern, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Wir schauen uns

das Polynom w an, was gerade auf dem Intervall, was gerade diese alpha i, also wir haben jetzt

sozusagen die Situation vom Intervall tj tj plus eins auf das Intervall 0 1 transformiert, das heißt

die Punkte tj plus alpha i mal hj gehen über in die Punkte alpha i auf diese Weise, dort schauen

wir uns das Polynom an, was genau die alpha i als Nullstellen hat, das ist dieses Polynom w und die

Bedingung für diese erhöhte Konsistenzbedingung ist eine Orthogonalitätsbedingung im l2-Skalarprodukt.

Jetzt haben wir den Beweis angefangen, aber eigentlich ist der Beweis ein bisschen verwunderlich,

den wir machen, denn er beweist eigentlich noch gar nicht das, was wir beweisen wollen, denn der

Beweis beschäftigt sich ausschließlich damit, wenn ich nun das, was wir hier machen, jetzt als

Quadraturformel anschaue, das heißt meine rechte Seite f hängt eben nicht von y ab, auf welchem

Polynomraum ist diese Quadraturformel exakt, unter welchen Bedingungen haben wir das, was hier als

Konsistenzordnung formuliert haben, als Exaktheitsbedingung im Grad der jeweiligen Polynome.

Dass das ein sinnvoller Ansatz ist, da müssen wir vielleicht mal auf das nachfolgende Lemma

schauen, wo eigentlich die gesamte schwierige Arbeit drinsteckt, das zu beweisen, deswegen

werden wir uns da auch ein bisschen zurückhalten, das zu tun. Das sagt nämlich aus, ein solches

Kollokationsverfahren, wie wir uns das anschauen, hat genau dann die Ordnung P, wenn die durch

das Verfahren definierte Quadraturformel, wenn die durch das Verfahren definierte Quadraturformel,

das heißt angewendet auf den Spezialfall f unabhängig von y, eine Quadraturformel ist,

die exakt ist für Polynome vom Grad P minus eins. Und das ist genau das, was wir jetzt eben

überprüfen, wir überprüfen diese Exaktheit der Quadraturformel. Und da sind wir schon so weit,

dass wir festgestellt haben, es tauchen zwei wesentliche Bedingungen auf oder öfter,

es tauchen zwei wesentliche Bedingungen auf oder öh, bei dieser Frage ist eine solche Quadraturformel

exakt, und zwar taucht diese Bedingung B L auf, die beschreibt gerade die Aussage, dass

die Quadraturformel exakt ist auf dem Polynomenraum mit dem Grade L minus eins. Okay, danke. Wenn wir

da mal hinschauen, nochmal auf diese Bedingung B L, sehen wir, das ist eine Verallgemeinerung

der Bedingungen, die wir bisher schon immer als Grundbedingungen vorausgesetzt haben,

nämlich der Fall L gleich eins ist das, was wir sowieso immer voraussetzen. Für den Fall L gleich