Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, schönen guten Morgen.

Wir hatten beim letzten Mal uns das Stabelement angeschaut als ein erstes einfaches Beispiel

und hatten dort Formfunktionen eingeführt, die Ansatzfunktionen halt als biliniare oder als 2 lineare Funktionen.

Und wir wollen uns heute im Abschnitt 7.3 ganz allgemein mit dem Aufbau der Formfunktionen beschäftigen.

Also wie sind solche Ansatzfunktionen für Finite Elemente typischerweise aufgebaut?

Und eine Sache, die wir schon gesehen haben ist, dass diese Formfunktion Hi, also es gibt zu jedem Knoten eine zugehörige Formfunktion,

hat am Knoten I, also dem Knoten zu dem sie gehört, den Wert 1 und an allen anderen Knoten des Elements

den Wert 0. Und dazwischen interpoliert sie halt.

Und zum Beispiel für den eindimensionalen Fall hätte man hier lineare Ansatzfunktionen, das sind die Ansatzfunktionen, die wir für den Stab haben.

Das heißt wir haben ein eindimensionales Element mit jeweils einem Knoten am Ende.

Und dann gibt es zu diesen zwei Knoten halt zwei Formfunktionen, jeweils eine.

Und wenn man das hier den Knoten I nennt und das den Knoten II, gehört also die Formfunktion I zum Knoten I, hat dort den Wert 1.

Und am anderen Knoten den Wert 0. Dazwischen kann ich halt mit diesen beiden Freiwerten, die ich habe, also ich habe hier den Wert 1, dort 0, dazwischen halt linear interpolieren.

Das wäre also hier H1 und die alternative Formfunktion, die andere Seite, wäre halt mit dem Wert 1 am Knoten II und 0 am anderen Knoten, ist halt diese Formfunktion.

Das heißt und der Wert hier, wenn ich das hier als Koordinatensystem zeichne, ist hier 1, jeweils.

Und nach diesem Schema kann man jetzt ganz leicht qualitativ die, also höherwertige Formfunktionen, höhere Polynomengrade generieren.

Zum Beispiel einen quadratischen Ansatz.

Um einen quadratischen Ansatz beschreiben zu können, eine Parabel, brauche ich drei Stützstellen. Das heißt ich muss einen weiteren Knoten einführen, um einen weiteren Freiwert zu haben, also weitere Knotengröße.

Den führt man jetzt in der natürlichen Lage in der Mitte des Elementes ein.

Und dann sehen die entsprechenden Formfunktionen, wenn ich die Knoten durchnummeriere, zum Beispiel der 1, 2 und den Mittelknoten hier 3 nenne, folgendermaßen aus.

Am Knoten I den Wert 1, an den beiden anderen den Wert 0 und das liefert mir eine Parabel, die hier irgendwie so durchliegt.

Für den Knoten II, also das wäre hier H1, für den Knoten II wäre das diese Parabel, H2 und für den Knoten III halt eine solche Parabel.

Das wäre H3. Und nach dem gleichen Schema könnte ich jetzt kubische, quartische, quintische, was weiß ich, Polynome produzieren, muss halt für jeden höheren Polynomengrad zusätzliche Knoten einführen bei diesem Schema, um halt mehr Freiwerte zu haben.

Ja, aber das Schema ist jetzt nochmal das gleiche. Am Knoten I, also H1, am Knoten I den Wert 1, an allen anderen Knoten den Wert 0. Dazwischen interpoliert das irgendwie.

Es ist günstig, dieses Verhalten hier, diese Formfunktion im Allgemeinen in einem sogenannten natürlichen Koordinatensystem zu beschreiben. Das heißt, im Eindimensionalen führt man ein Koordinatensystem ein, das hier in der Mitte orientiert ist mit R.

Und die Formfunktionen laufen auf einem Intervall hier von minus 1 bis 1. Also man normalisiert die Länge des Elementes auf ein Intervall von minus 1 bis 1. Das ist also leicht gemacht.

Und dann kann ich die Formfunktionen, die dazugehören, hinschreiben hier. Also zum Beispiel hier ein, die Linear könnte ich das H1 hinschreiben als ein halb 1 plus R.

Das hat für den Knoten I, da ist R, hat gerade den Wert 1, habe ich hier 1 plus 1, 2 halbe ist gerade 1. Am linken Knoten II ist R minus 1, habe ich hier 1 minus 1, ist 0, passt.

Und dazwischen ist es halt eine lineare Funktion. Und für den Knoten II ergibt sich ein halb 1 minus R. Und jetzt kann man Folgendes machen, also die quadratische Funktion kann man ähnlich generieren.

Die würden dann folgendermaßen aussetzen, ich hätte H1 kann man darstellen als ein halb 1 plus R minus ein halb 1 minus R².

H2 ist gleich ein halb 1 minus R minus ein halb 1 minus R². Und das H3 ist gerade 1 minus R².

Sodass man hier das auch schreiben könnte als hier die lineare Formfunktion jeweils hier vorne. Also ich schreibe hier mal H1 linear minus ein halb H3. Das ist hier H2 linear minus ein halb H3. Und das ist halt einfach das H3 hier.

Man kann also theoretisch auch so eine Hierarchie aufbauen. Ich kann also aus dem Linearen durch Modifikation, durch hinzufügen solcher Formfunktion einen quadratischen Ansatz generieren.

Die nächste Modifikation wäre dann allerdings nicht der kubische, sondern hierarchisch gesehen würde ich gleich einen quartischen, indem ich hier jeweils nochmal Zwischenpunkte einfüge.

Dann könnte man das hierarchisch immer weiter so machen. Das wird in der Praxis aber sehr selten gemacht. Es gibt sogenannte P-adaptive Verfahren, bei denen man das Netz verfeinert oder die Ansatzfunktion verbessert, indem man immer höhere Polynomtherme verwendet.

Das wird mitunter gemacht, ist in kommerziellen Programmen aber relativ selten. Es gibt ein Beispiel, ich heiße das ist in dem Proengineer, da ist so ein FE-Kern drin, der so was irgendwie so was ähnliches macht.

Was der genau treibt, weiß ich nicht, das habe ich nur einmal gesehen. In Kompensierungen wie Abacus, Ansys, Mark oder so etwas ist das nicht drin.

Da wird also so eine Hierarchie von Polynomthermen nicht benutzt. Das hat für sehr glatte Spannungsprobleme, ist das wunderbar, das konvergiert ganz schnell.

Man kriegt also, wenn man da die Spannung ausrechnet und das verfeinert in dieser Art und Weise, also Ansatzfunktion hoch, schraubt die Polynomtherme, wunderbare Ergebnisse, aber das setzt extrem glattes Verhalten der Lösung heraus, der wahren Lösung, dass das gut funktioniert.

Ansonsten würde man, das machen alle anderen Programme, wenn man die Lösung sozusagen genauer haben will, nimmt man nicht einen höheren Polynomtherm, sondern man nimmt einfach kleinere Elemente.

Man macht halt aus einem Element hier zwei oder drei, vier, was weiß ich, macht so eine ganze H-Adaptivität. H steht für die charakteristische Elementlänge.

Man macht also die Elemente immer kleiner und hält den Polynomengrad gleich. Das ist das Übliche und das ist das, was auch in fast allen kommerziellen Programmen implementiert ist.

Aber das ist um was extra. Man kann theoretisch solche hierarchischen, ineinandergeschachtelten Polynome konstruieren.

In der Praxis, wie gesagt, wird das nicht gemacht, außer für sehr spezielle Fälle und in kommerziellen Programmen ist normalerweise nichts Höheres als ein quadratischer Ansatz implementiert.

In der Praxis halt, ich schreibe mal hin, kommerzielle FE-Pakete, typischerweise,

Elemente mit maximal quadratischen Ansatzfunktionen, das heißt, Polynomen maximal bis zum Grad zwei.

Also was für ein 1D-Element ist das schon der höchste Polynomengrad, der üblicherweise programmiert ist, mit Ausnahme von Balken-Elementen.

Das werden wir am Ende der Vorlesung oder nächste Woche sehen. Da wird ein kubisches Polynomen verwendet.

Mehr macht man typischerweise nicht. Der Grund, dass diese Formfunktionen gerade an den Knoten den Wert eins annehmen und an allen anderen Knoten des Elementen den Wert null,