In den letzten Videos haben wir uns bisher nur mit unrestringierten Optimierungsproblemen beschäftigt

und es stellt sich heraus, dass viele spannende Optimierungsprobleme aus unserem Alltag

eigentlich Optimierungsprobleme mit gewissen Nebenbedingungen sind. Darum wollen wir uns in

diesem Video darum kümmern, solche Probleme zu lösen. Als Beispiel sei genannt, ich bin Firmenchef

und möchte in einer Spedition möglichst viele Güter innerhalb einer Region verteilen, habe aber

nur eine begrenzte Anzahl von LKWs oder ich bin Leiter einer Abteilung und habe dort sehr viele

Aufgaben vorliegen, die möglichst abgearbeitet werden müssen, habe aber auch nur eine begrenzte

Anzahl an Mitarbeitern und einen festen Zeitplan, an den ich mich halten muss. All das wären

alltägliche Optimierungsprobleme unter Nebenbedingungen und darum wollen wir uns in

diesem Video damit beschäftigen, wie man solche Probleme modelliert und Möglichkeiten aufzeigen,

stationäre Punkte unter diesen Nebenbedingungen zu identifizieren. Wir werden hierbei nur notwendige

Bedingungen herleiten können, wie man sehen wird, es wird kein Hinreichenskriterium für ein lokales

Extremum geben, aber wir können zumindest Punkte identifizieren, die Optimierungsprobleme unter

Nebenbedingungen eventuell lösen, wenn man diese dann noch prüft. Wir werden dabei nochmal das

allgemeine Optimierungsproblem formulieren, das heißt in einem der vorigen Videos hatten wir

formuliert, wir möchten eine Zielfunktion f von x minimieren unter der Bedingung, dass x aus einem

Gebiet Omega kommt und die Nebenbedingungen hatten wir formuliert als Gleichung oder Ungleichung der

Form ci von x ist gleich 0 für alle Indizes i, die aus einer Indexmenge geschwungen e kamen, das stand

für Equality, für Gleichung und dann hatten wir Nebenbedingungen und die schreibe ich jetzt in rot,

ci von x größer gleich 0, das waren also Ungleichung für alle i aus einer Indexmenge geschwungen i,

für Inequality und wir werden uns innerhalb dieser Vorlesung nur auf Gleichung konzentrieren,

das liegt daran, weil man für Gleichung ein sogenanntes Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren

relativ leicht herleiten und auch verstehen kann. Das Problem mit den Ungleichungen ist, dass da

eine riesengroße Theorie dahinter steht und man müsste die Karush-Kun-Taka oder KKT-Bedingungen

herleiten und das würde einfach den Rahmen dieser Vorlesung sprengen, das heißt wir werden den

unteren Teil für Nebenbedingungen, die Ungleichung repräsentieren, komplett außer Acht lassen und

uns nur um Gleichung kümmern. Wir fangen jetzt an mit einer der wichtigsten Beobachtungen bei der

Optimierung mit Gleichung in der Nebenbedingung und zwar ist diese Beobachtung, dass die Gradienten

einer Zielfunktion und der Nebenbedingungen in einem möglichen Minimierer immer parallel

ausgerichtet sein müssen. Wir wollen erst mal einen Satz dazu formulieren und das Ganze dann

versuchen geometrisch zu deuten. Das heißt wir formulieren folgenden Satz der Lagrange-Multiplikatoren.

Zuerst die Voraussetzung. Wir brauchen diesmal eine Zielfunktion und eine Nebenbedingungsfunktion,

die nennen wir C. Also zwei Funktionen F und C. Beide bilden jetzt ab von unserem Gebiet Omega,

dem Definitionsbereich nur in die reellwertigen Funktionen. Bei der Optimierung beschränken

wir uns erst mal nur auf reelle Funktionen und es sollen zwei stetig partiell differenzierbare

Funktionen sein. Das heißt wir müssen mindestens ableiten können und die Ableitung muss stetig sein.

Zwei stetig partiell diffbare Funktionen. Und was wir noch brauchen ist eine Mannigfaltigkeit und

das soll eine Teilmenge sein unseres Definitionsgebiets, in dem die Nebenbedingungen

erfüllt ist. Ich werde gleich was dazu sagen und die nennen wir M. Das ist sozusagen das Urbild

der Nullstellen unserer Nebenbedingungen. Das sind also alle Punkte x aus Omega. Für die gilt das C

von x gleich Null ist. Also gerade die Nullstellen. Das ist auch eine Teilmenge von Omega und wir

nennen das eine Untermannigfaltigkeit. Das haben wir jetzt nicht im Rahmen der Vorlesung eingeführt,

dieses Konzept. Aber Sie können sich darunter im Prinzip eine Kurve oder eine Fläche in einem

höherdimensionalen Raum vorstellen, in der Sie sich bewegen können, ohne rauszufallen. So mal ganz

anschaulich betrachtet. Das Konzept der Untermannigfaltigkeiten kommt vor allem in

der Differentialgeometrie vor und würde jetzt hier auch den Rahmen der Vorlesung sprengen. Dennoch

braucht man das, um diesen Satz vernünftig zu formulieren, ohne irgendwelche Probleme zu erzeugen.

Also das ist eine Untermannigfaltigkeit. Wie gesagt denken Sie dabei zum Beispiel an eine Kurve

im zweidimensionalen oder im dreidimensionalen eine Fläche, eine Oberfläche, die in einem 3D-Raum

liegt. All das werden Untermannigfaltigkeiten und in denen nehme ich an, dass immer die Punkte