In diesem letzten Kapitel der Vorlesung wollen wir uns mit Differentialgleichung und insbesondere

mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschäftigen. Und Differentialgleichungen sind

ein sehr fundamentales Konzept, das uns dabei hilft, die Welt um uns herum zu verstehen und

physikalische Modellierung zu betreiben. Und Differentialgleichungen stecken so ziemlich hinter

jedem Naturgesetz, das in den letzten hunderten von Jahren erforscht und ergründet worden ist. Wenn

wir zum Beispiel an Gravitation denken, dann steckt dahinter eine Differentialgleichung.

Und eine Differentialgleichung per se beschreibt häufig das Änderungsverhalten einer Größe,

die wir beobachten können, wie zum Beispiel die Fallgeschwindigkeit eines Steins, den wir einfach

fallen lassen. Da fragt man sich, wie sieht da die Beschleunigung aus, warum wird der Stein

schneller, je tiefer er fällt. All das lässt sich mit Differentialgleichung beschreiben. Oder zum

Beispiel die Vermehrung von Bakterien oder die Verbreitung eines Virus, wie aktuell das

Coronavirus. Hinter all diesen Modellen steckt eine Differentialgleichung. Darum ist es ein sehr

wichtiges mathematisches Feld, mit dem wir uns im Folgenden beschäftigen wollen. Zum Gebiet der

Differentialgleichung gibt es unterschiedliche Ansätze. In der Reimmathematik und vor allem in

der Analysis beschäftigt man sich häufig mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen

von Differentialgleichung. Also man widmet sich eher der Theorie. Und auf der anderen Seite gibt

es die numerische Mathematik, die versucht, bei Differentialgleichungen, die nicht ganz so einfach

sind und vielleicht keine analytische Lösung haben, dennoch approximative Lösungen mit Hilfe

von Computermodellen zu errechnen. Das heißt, es gibt immer die beiden Betrachtungsweisen, einmal

die der Reimmathematik, wo es um analytische Lösungen geht, und die eher computerorientierte

Mathematik, die numerische Mathematik, die versucht, Lösungen zu approximieren. Mathematisch gesehen

ist eine Differentialgleichung eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und deren Ableitungen

auftreten. Also sobald eine Ableitung und eine Funktion in eine Gleichung vorkommt, sprechen wir

von Differentialgleichung. Also das kann man sich gut merken, Differential und Ableitung. Und die

größte Vorkommende Ableitung ist hierbei dann die Ordnung der Differentialgleichung. Das heißt,

wenn ich die erste Ableitung einer Funktion betrachte, dann hätte ich eine Differentialgleichung

der ersten Ordnung. Wenn ich die zweite Ableitung betrachte, die vorkommt, dann hätte ich eine

Differentialgleichung der zweiten Ordnung und so weiter. Dann kann man auch unterscheiden,

ob es sich um eine gewöhnliche oder um eine partielle Differentialgleichung handelt. Das hängt

ganz stark davon ab, ob die Funktion eine Variable oder mehrere Variablen besitzt. Wenn wir eine

Funktion in nur einer veränderlichen haben, dann ist es eine gewöhnliche Differentialgleichung. Und

in dieser Vorlesung und in der nächsten Vorlesung werden wir uns nur um solche Differentialgleichungen

kümmern. Wenn man aber mehrdimensional solche Gleichungen betrachtet und Gradienten auftreten

mit mehreren partiellen Ableitungen, dann sprechen wir von einer sogenannten partiellen Differentialgleichung.

Die letzte Unterscheidung, die man vielleicht noch erwähnen sollte, ist, wenn man Funktionen

betrachtet, die durch mehrere Gleichungen beschrieben werden. Also es können durchaus

unterschiedliche Funktionen sein, die miteinander gekoppelt sind oder voneinander abhängen und

deren Ableitung. Dann sprechen wir nicht von einer Differentialgleichung, sondern von einem

Differentialgleichungssystem. Also ganz ähnlich wie bei einem linearen Gleichungssystem hat man dann

mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten und man hofft diese irgendwie lösen zu können. Im

Folgenden beschränken wir uns jedoch vornehmlich der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen

und auch keinen Differentialgleichungssystem anfangs. Das heißt, wir fangen ganz langsam an. Und um

eine Intuition zu erzeugen, wovon wir hier reden und was eine Differentialgleichung ist,

habe ich mir gedacht, beginnen wir mal mit einem möglichst einfachen Beispiel. Das heißt, das erste

Beispiel, das wir diskutieren wollen, dient eher zur Motivation. Da werden wir noch nicht sehen,

wie wir Lösungen erarbeiten können, sondern wir machen das Ganze einfach durch Erraten. Also das

einfachste Beispiel einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

Differentialgleichung. Und ich werde das häufig in der Vorlesung abkürzen durch die

Abkürzung DGL. Damit ist Differentialgleichung gemeint. Das einfachste Beispiel, was man sich

überlegen kann, ist eine Gleichung der folgenden Form. Und zwar fragt man sich, welche Funktion