Bisher haben wir Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung explizit

behandelt und eigentlich nur am Rande erwähnt, wie es sich mit Differentialgleichung höherer

Ordnung verhält und das hat auch einen guten Grund, denn in diesem Video werden wir sehen,

dass wir eine gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung, egal ob diese linear oder nicht

linear ist, in ein System von Differentialgleichung erster Ordnung transformieren können. Bevor wir

uns damit beschäftigen, wollen wir auch ein zusätzliches Kriterium zur Klassifikation

von gewöhnlichen Differentialgleichung einführen. Wir hatten bisher die Begriffe Homogenität,

Linearität und ähnliches eingeführt und wir werden jetzt noch die Begriffe von Explicit und

Implicit mit dazu nehmen, um dann darüber hinaus zu verstehen, wie wir Differentialgleichung höherer

Ordnung in eine einfache Reform bekommen können. Die Wichtigkeit dieser Beobachtung liegt darin,

dass wir jetzt, egal welcher Ordnung die Differentialgleichung, die man untersucht,

hat, sich nicht mehr darauf konzentrieren muss, Lösungsmethoden für diese hohe Ordnung zu

konstruieren. Das heißt, es reicht vollkommen aus, analytisch sowie numerisch sich nur Lösungsverfahren

erster Ordnung anzuschauen, da man jegliche gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung

eben in diese Umformen kann. Und damit deckt man sozusagen alles ab, was noch kommen könnte. Genau,

wir beginnen unsere Vorlesung mit einer Definition zur Differentialgleichung Enter Ordnung. Und da

wird auch der Begriff von Explicit und Implicit eingeführt. Das heißt, wir beginnen mit folgender

Definition. Differentialgleichung, wir schreiben Enter Ordnung. Wir erinnern uns, das hieß,

dass die höchste vorkommende Ableitung gerade von Ordnung N ist. Und wir definieren zuerst einmal

die Voraussetzungen, die wir brauchen, um vernünftig Differentialgleichung zu beschreiben. Dazu brauchen

wir eine Teilmenge des folgenden kathesischen Produktes. Und zwar sagen wir, g sei eine echte

Teilmenge von R Kreuz R hoch N. Und das erste R steht für unser Funktionsargument. Das war

typischerweise x. Und R hoch N, das wird gerade die Werte der unbekannten Funktion y bzw. ihre

Ableitung sein. Und das sind N Stück. Darum haben wir je ein Vektor um R hoch N. Und wir sagen,

diese Menge g sei eine offene Teilmenge. Und wir brauchen eine Funktionsvorschrift,

die nennen wir f. Die soll gerade auf g leben und reellwertig sein. Und wir sagen,

diese Funktion soll stetig sein. Jetzt können wir im Prinzip zwei unterschiedliche Dinge

einführen. Zuerst wollen wir uns mit dem Begriff von explizit und implizit beschäftigen. Und dazu

schreiben wir folgendes. Wir nennen eine Gleichung, die eine gewisse Form hat. Und zwar soll die so

aussehen, dass wir zur höchsten Ableitung umstellen können. Oder die höchste Ableitung steht allein

auf einer Seite. Das heißt, wir schreiben hier y N von x. Das soll gleich dieser stetigen Funktion

f sein, die jetzt von verschiedenen Dingen abhängt. Zum einen vom Funktionsargument x,

aber auch von der Funktion y selbst und ihren Ableitungen. Das heißt y Strich, y Strichstrich

und so weiter bis zur N minus ersten Ableitung. Wenn ich die Differentialgleichung in dieser Form

schreiben kann, sodass die höchste Ableitung allein auf einer Seite steht, dann nenne ich diese

Differentialgleichung explizit oder die Form ist dann explizit. Eine explizite gewöhnliche

Differentialgleichung. Ich kürze das mal mit DGL. Und falls man es eben nicht in dieser Form

schreiben kann, das heißt die höchste Ableitung steht nicht allein auf einer Seite oder ist

vielleicht sogar implizit in einer Funktionsvorschrift gegeben oder multipliziert an

irgendetwas anderes, dann nennen wir die Differentialgleichung implizit. Das heißt,

wenn die DGL nicht von dieser Form ist, nennen wir sie implizit. Wir werden gleich ein Beispiel dazu

sehen, um zu verstehen, wie das dann aussieht. Wird sie implizit genannt. Gut, das schauen wir

uns gleich noch mal in einem Beispiel an. Wir haben hier oben vergessen zu sagen, dass es sich

um eine Differentialgleichung nterordnung handelt, da die höchste Ableitung gerade die nter Ableitung

ist. Jetzt sind wir vollständig. Und jetzt schauen wir uns noch an, was wir zur Lösung

solch einer Differentialgleichung nterordnung sagen können. Die muss nämlich gewisse Voraussetzungen

erfüllen. Wir nennen eine n-mal differenzierbare Funktion. Ich kürze es mal mit divbar. Die nanden

wir bisher auch immer phi. Die soll auf einem offenen Intervall i nach r bilden. Auf dem offenen

Intervall i, timing, r. Die nennen wir eine Lösung der Differentialgleichung. Im Prinzip,

wenn sie zwei Eigenschaften besitzt, die folgenden Eigenschaften besitzt. Was ist das? Zum ersten