Bisher haben wir uns in unserer Diskussion zu gewöhnlichen Differentialgleichungen immer

auf den Spezialfall von homogenen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung

beschränkt. Das heißt, wir haben immer angenommen, dass die Störfunktion der Term B von x konstant

Null ist. Das ist natürlich eine sehr große Einschränkung und wir wollen jetzt im Folgenden

einfach mal den allgemeinen Fall einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung diskutieren,

nämlich einer in homogenen und das heißt wir beschäftigen uns in diesem Video mit

Differentialgleichung der Form y Strich von x ist gleich a von x ein linearer Term mal y von x plus

b von x und wir nehmen jetzt mal an, dass b von x ungleich Null ist. Das heißt wir gehen davon aus,

b von x ist nicht die konstante Nullfunktion und da werden wir sehen, wir brauchen jetzt eine

andere Technik. Wir können hier nicht Trennung der Variablen durchführen, sondern eine andere

mathematische Herangehensweise, die sich Variation der Konstanten nennt. Und die Idee bei der Variation

der Konstanten ist es eine Lösung herzuleiten, basierend auf der Lösung des homogenen Problems.

Das heißt man tut erstmal so, als wäre die Stürrfunktion Null, berechnet dann eine Lösung,

zum Beispiel über Trennung der Variablen und basierend auf dieser sogenannten Fundamentallösung

der Differentialgleichung lässt sich dann eine spezielle Lösung für das inhomogene Problem

aufstellen. Wir wissen noch für die homogenen Differentialgleichungen, die von folgender Form

sind, das heißt wenn wir uns das homogene Problem anschauen, dann hatten wir nur y Strich von x

gleich a von x mal y von x. Da haben wir schon festgestellt, wie Lösungen aussehen. Im letzten

Video haben wir einen Satz dazu gehabt, der sagte, die Lösungen sehen wie folgt aus und zwar bezeichnen

wir die in diesem Fall mal als Phi Null und damit soll sozusagen diese Fundamentallösung gemeint

sein für das homogene Problem. Phi Null von x ist nach dem Satz der letzten Vorlesungen eine

Konstante und diese Konstante war gerade die Konstante, die das Anfangswertproblem löst,

mal der Exponentialfunktion ausgewertet im Integral von x Null, dem Anfangspunkt, bis x a von t dt,

also sozusagen eine Stammfunktion unseres linearen Vorfaktors a und genau diese Funktion Phi Null,

diese Fundamentallösung, die wird jetzt eine entscheidende Rolle spielen bei der Variation

der Konstanten. Gut, wir beginnen einfach direkt mit einem Satz, der sozusagen uns formuliert,

wie wir Lösung generieren können. Das heißt wir beginnen mit dem folgenden Satz,

Variation der Konstanten und wir werden im Beweis dieses Satzes auch sehen woher der Name kommt,

was hat das mit irgendeiner Variation von Konstanten zu tun und anschließend werden

wir noch ein Beispiel rechnen, um zu sehen, wie wir diese Technik effektiv einsetzen können.

Zuerst einmal die Voraussetzungen des Satzes, sei i Teilmenge r ein offenes Intervall, wie immer,

und wir brauchen zwei stetige Funktionen, a, b, die müssen nur auf dem Intervall leben,

r zwei stetige Funktionen. Außerdem wollen wir wieder ein Anfangswertproblem stellen,

das heißt wir brauchen einen beliebigen Punkt und einen zugehörigen Wert. Dann gibt es zu

einem beliebigen Punkt, den nennen wir wieder x0 aus i und einem Anfangswert c.

C kann irgendeine reelle Zahl sein. Dann gibt es dazu eine eindeutige Lösung,

und zwar in dem Fall des Inhogentproblems und die Lösung wollen wir nennen phi,

die von i nach r bildet und zwar der linearen, ich möchte zum einen vorheben,

inhomogenen Differentialgleichung. Die Störfunktion ist in dem Fall nicht null.

Ich kürze das mit DGL. Erste Ordnung. Ich schreibe sie noch eine Vollständigkeit halber hin. Wir

wollen jetzt lösen das Problem y Strich von x ist gleich a in Abhängigkeit von x mal y von x und

jetzt hier der zusätzliche Term plus b von x und das Ganze soll erfüllt sein für alle x aus dem

offenen Intervall i. Unter der Anfangsbedingungen, die müssen wir immer stellen, damit die Lösung

eindeutig wird, sonst erhalten wir eine Familie von Lösungen. Unter der Anfangsbedingungen,

und zwar möchten wir, dass phi ausgewertet in der Stelle x0 gerade gleich dem Anfangswert c ist.

Gut, jetzt wissen wir schon mal, es gibt eine eindeutige Lösung, können wir was über die Form

aussagen und ja, das ist so. Das kommt eben aus dieser Variation der Konstanten und wie

schon einleitend gesagt, hängt dies stark ab von der Fundamentallösung phi0 des Homogenproblems.

Also die Lösung des Problems ist von der Form. Wie sieht die aus? Ich fange auf

eine neue Seite an. Phi von x lässt sich jetzt darstellen als Lösung des Homogenproblems phi0