Also wir hatten letztes Mal angefangen, uns mit positiv definierten Matrizen zu beschäftigen.

Das sind eigentlich sehr einfache Matrizen, also sie sind immer schon vom Begriff her

symmetrisch bzw. hermitsch, was wir jetzt ab sofort mit selbst adjungiert, also gleich

der adjungierten abkürzen. Man kann natürlich auch den Begriff der negativ definierten Matrix

einführen, was man dann analog mit einem umgekehrten Vorzeichen charakterisieren kann,

oder dadurch, dass alle Eigenwerte negativ sind, aber dann ein Operator genau dann negativ definiert

ist, wenn das negative positiv definiert ist, braucht man diesen Begriff eigentlich nicht.

Interessant wird es dann wieder, wenn man eben weder das eine noch das andere hat, was dann

manchmal auch indefinit genannt wird, das wird uns vielleicht noch dann ein bisschen begegnen.

Also Definition ist gerade die Forderung, dass wenn man jetzt auf der Basis des Operators bzw.

der Matrix eine bilinear Form definiert, wie es jetzt hier nochmal steht, dann ist diese Form

genau dann hermitsch bzw. genau dann symmetrisch oder hermitsymetrisch, wenn das Phi selbst

adjungiert ist, sie hat die richtige Linearität sowieso und sie ist genau dann definiert, wenn

eben der Operator positiv definiert ist. Also der Begriff der positiv definitei macht aus dieser

Form einfach ein inneres Produkt und damit haben wir jetzt mit diesem inneren Produkt haben wir

eine operatorabhängige Längenmessung, das erzeugte Norm, man sagt manchmal auch Energienorm dazu und

das erzeugte Energieskalarprodukt und wir werden sehen, dass wir sehr viel jetzt in dieser in diesem

sozusagen Matrix angepassten Skalarprodukt formulieren können, um letztendlich neue,

scheinbar neue Aspekte auf das, was wir schon kennen und können, nämlich Orthogonalprojektion

zurückführen können. Okay, also Charakterisierung war klar über die Eigenwerte, dann haben wir,

ist auch die Inverse positiv definiert, wir haben eine Wurzel und jetzt wollen wir mal die

Konsequenzen ein bisschen daraus ziehen. Es hat viel mit, wie ich schon jetzt mehrfach gesagt habe,

mit Orthogonalprojektion, also mit der Frage des minimalen Normabstandes eines Elementes zu Elementen,

sagen wir eines Unterraums oder eines affinen Unterraums zu tun. Es ist nur die Frage, wie

definiert man jetzt das zugrundelegende eben innere Produkt beziehungsweise das, die dann von

erzeugte Norm. Den Zusammenhang sehen wir jetzt hier schon, wir haben ja gesehen, wenn wir einfach

so starten mit einer von einem inneren Produkt erzeugten Norm und eben die Frage nach der

orthogonalen Projektion stellen, dann reduziert sich das darauf ein Gleichungssystem für die

Parameter in diesem Raum, in dem wir projizieren wollen zu lösen, wo dies Matrix gerade durch die

Grammische Matrix gegeben ist. Also eine Matrix, die folgende Gestalt hat, hier steht es nochmal,

ich habe die Basis-Elemente, die mir diesen Raum aufspannen, in den ich projizieren möchte und ich

bilde dann eine quadratische Matrix, indem ich das J und das I-Basis-Element im inneren Produkt

zusammennehme, das gibt mir dann den IJ-Eintrag. Also man muss hier ein bisschen, zumindest im

komplexen Fall, auf diese Vertauschung der Indizes hier achten, im reellen Fall ist das irrelevant

wegen der Symmetrie und der Zusammenhang ist der, das war das letzte, was wir gesehen haben,

zum einen ist jede Grammische Matrix, wenn man es einfach mal so hinschreiben, für irgendein

Vektorsystem positiv semidefinit und wenn dieses Vektorsystem linear unabhängig ist, dann ist sie

positiv definit und andererseits können wir auch jede positiv definite Matrix in so einer Form

schreiben, indem wir einfach das innere Produkt an die Matrix anpassen, das heißt also eben genau

das erzeugte innere Produkt nehmen. So, jetzt wollen wir ein paar Konsequenzen daraus ziehen und das ist

jetzt im Wesentlichen wieder eine Realisierung des Kartoffelkochprinzips, dass Sie sich hoffentlich

noch erinnern und jetzt werden wir mal schauen, wir wissen ja wie das so ist, wenn wir die Kartoffeln

aus dem Keller, wenn wir wissen, dass die Kartoffeln im Keller sind, jetzt werden wir mal alles schön in den Keller

runter tragen und sehen, dass wir alles darauf zurückführen können. Die erste Überlegung, das

ist eine Überlegung, die wir vor ganz langer Zeit gemacht haben und die das jetzt noch mal

zusammenfasst, ist eine Aussage, die das Zusammenspiel, genauer gesagt die Lösungsequivalenz

ausdrückt auf der einen Seite zwischen einem Gleichungssystem A x gleich B und auf der anderen

Seite einem gewissen Minimierungsproblem, das heißt ich habe ein Funktional, das heißt eine

Abbildung vom K hoch N nach R und ich frage mich, hat dieses Funktionalminimum beziehungsweise wo

wird das Minimum angenommen? Wie gesagt, die autogonale Projektion ist genau von dieser Bauart,