Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, grüß Gott zusammen. Wir haben letztes Mal angefangen, uns mit dem Begriff einer

positiv definierten Matrix beziehungsweise Operator zu befassen. Vielleicht schauen

wir nochmal prinzipiell darauf, was das bedeuten könnte. Wenn man folgenden Ansatz

macht, ich habe irgendeinen euklidischen unitären Vektoraum, das heißt einen Raum

mit inneren Produkt, oder stellen Sie sich den KHN vor, mit dem euklidischen

inneren Produkt und eine Linearen Operator, dann kann ich diese Bildung

hier machen. Phi V, W für zwei Vektoren, V, W im inneren Produkt. So, welche

Eigenschaft hat dieser Ausdruck, diese Abbildung eines Tupels von Vektoren in

den Zahlkörper? Erstmal ist das hier im reellen, eine bilinear Form,

beziehungsweise im komplexen Hermitische Form. Die Linearität in der linken

Komponente, das sorgt die Linearität von Phi dafür und die Linearität des

zugrundeliegenden inneren Produkts in der linken Komponente. Und für die rechte

Komponente, da ist es so, wie es uns eben vorgegeben ist, also entweder linear oder

antilinear für die komplexen Zahlen. Das heißt, es ist ganz egal, wie wir das Phi

hier wählen oder eine Matrix hier wählen, wir bekommen immer eine bilinear oder

eine Hermitische Form. Die nächste Frage ist, wann ist denn diese Form

symmetrisch beziehungsweise im komplexen Hermit symmetrisch? Das heißt also,

vielleicht diskutieren wir es jetzt erst mal nur für den reellen Fall durch, wann

ist in dieser bilinear Form dann V, W gleich W, V? Ja, das heißt also, ich muss

sozusagen das Phi unbeschadet auf das W bringen, das heißt, ich brauche ein

symmetrisch beziehungsweise dann allgemein einen selbst adjungierten

Operator. Also genau dann, wenn die Abbildung bzw. konkret dann die Matrix

selbst adjungiert ist, ist diese Form symmetrisch beziehungsweise

Hermit symmetrisch. Und jetzt erinnern wir uns vielleicht noch dran, dass wir, um

sozusagen ein inneres Produkt zu haben, das heißt, wir starten mit einem inneren

Produkt und wollen ein neues, ein gewichtetes inneres Produkt erzeugen. Um

ein inneres Produkt zu haben, was uns dann insbesondere eine

Norm gibt, eine Längenmessung gibt, brauchen wir noch eine dritte

Eigenschaft, nämlich die Definite der Form. Und die Definite der Form ist jetzt

genau das, was wir als positiv Definite fordern. Es ist genau diese Eigenschaft,

wie sie hier steht, Phi vv soll positiv sein für alle von 0 verschiedenen

Vektoren. Beziehungsweise die abgeschwächte Form wäre diese Form, Phi vv soll größer

gleich 0 sein, also 0 ist erlaubt, auch für Vektoren v ungleich 0. Dann

bekommen wir allerdings kein inneres Produkt im strikten Sinne mehr und auch

keine Norm mehr, weil wir da nicht mehr garantieren können, dass sozusagen nur

der 0-Vektor die Länge 0 hat. Dann gibt es eben auch von 0 verschiedene Vektoren,

die denen dann eine Länge 0 gegeben würde. Okay, das ist Grund genug, sich jetzt

diese positiv definiten Operatoren bzw. Formen oder

bzw. Matrizen anzuschauen und vielleicht nochmal was, wie können wir uns das

konkret hier vorstellen, so ein gewichtetes inneres Produkt. Der einfachste

Fall, denken wir jetzt wieder in Matrizen, der einfachste Fall ist eine

Diagonalmatrix. Da geht nichts schief mit der Symmetrie. Da müssen wir bloß auf

die Definite schauen und was wäre die, wann für welche Diagonalmatrizen ist die

Definite Bedingung erfüllt, was meinen Sie?

Hier unten steht es nochmal für Matrizen formuliert. Nehmen wir mal an,

A ist die Diagonalmatrix. Wann können wir das hier immer garantieren? Unter

welchen Bedingungen an die Matrix A? Genau, wir brauchen positive

Diagonaleinträge und bzw. wenn wir hier nur ein größer Gleich haben wollen,

positiv semi definiter würde größer Gleich reichen.