In diesem Video wollen wir uns mit einer besonderen Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen

beschäftigen, deren Lösungen in einem interessanten Zusammenhang zu Phasenflüssen und Phasenporträts

stehen, die wir uns in den letzten Videos angeschaut haben.

Und deswegen werden wir uns in diesem Video mit den sogenannten Hamiltonischen Differentialgleichungen

beschäftigen.

Diese finden klassischerweise Anwendung in der Mechanik und der Theorie der Mechanik,

aber auch hin bis hin zur Quantenmechanik.

Und deswegen gibt es dort viele interessante Anwendungen, sodass es wichtig ist, deren

grundlegende Prinzipien zu verstehen und die Idee hinter dem Konzept der Hamiltonischen

Differentialgleichungen.

Ein wichtiges Prinzip in vielen physikalischen Anwendungen, und das wissen Sie sicherlich,

ist es, dass es sogenannte Erhaltungssätze und zugehörige Erhaltungsgrößen gibt und

das ist auch für dynamische Systeme besonders wichtig.

Und wenn wir an die klassische Mechanik denken, dann fällt uns beispielsweise die sogenannte

Energieerhaltung oder Impulserhaltung ein.

Und deswegen wollen wir uns heute mit diesen Hamiltonischen Differentialgleichungen beschäftigen,

denn die stehen im direkten Zusammenhang mit diesen Erhaltungsgrößen.

In unserem Kapitel über Phasenflüssen und Phasenporträts haben wir damals noch Bewegungsgleichungen

als ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen hergeleitet und auch gelöst.

Und wir wollen uns jetzt im Prinzip anschauen, was die Theorie dahinter ist, die uns sagt,

dass die Erhaltungsgrößen eines dynamischen Systems sich direkt an der Formulierung des

Differentialgleichungssystemen ablesen lässt.

Wurde auch eine Hamiltonische Differentialgleichung typischerweise auf?

Ich sagte schon, eine klassische Mechanik.

Wir sollten immer an Beispiele denken, in denen zum Beispiel Reibungen nicht auftreten

oder wenn wir jetzt an den harmonischen Oszillator denken, das wäre ein klassisches Beispiel,

an der Hamiltonische Differentialgleichung eine wichtige Rolle spielen, auch wenn wir

sie noch nicht explizit gesehen haben.

Und sie tauchen immer dann typischerweise auf, wenn wir uns Bewegungen im Phasenraum anschauen.

Und bei diesen Bewegungsgleichungen besteht ja der Phasenraum aus Paaren von Ort- und

Impulswerten.

Das haben wir in den Phasenporträts gesehen.

Und die Lösungen der Differentialgleichung, die liefern uns dann später Traktorien oder

Orbits im Phasenraum, für die die gesamte Energie des Systems erhalten bleibt.

Und das macht sie so besonders interessant für uns.

Und das werden wir jetzt in dieser Vorlesung etablieren.

Bevor wir jetzt anfangen, die Hamiltonische Differentialgleichung näher zu diskutieren

und ihre mathematischen Eigenschaften näher zu beschreiben, wollen wir erstmal definieren,

wann wir ein Vektorfeld auf dem Phasenraum Hamiltonisch nennen und was eine Hamilton-Funktion

dieses Vektorfelds ist.

Also beginnen wir wie immer mit einer Definition.

Schraube Hamilton-Funktion.

Wir fangen an explizit zu sagen, was ist denn die Dimension, in der wir uns bewegen.

Denn die hat in diesem speziellen Kontext auch den Namen Anzahl der Freiheitsgrade.

Das heißt, wir sagen, sei n Element n die sogenannte Anzahl der Freiheitsgrade des Systems,

nicht gerade, sondern gerade, das betrachtet in dynamischen Systems.

Also zum Beispiel könnten wir uns vorstellen, wir untersuchen die Bewegung eines Teilchens

im Raum.

Dann wäre sozusagen die Anzahl der Freiheitsgrade hier n gleich 3, wenn wir uns in dreidimensionalen

Raum aufhalten.