Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ich habe mittlerweile das Gefühl, dass Sie schon einigermaßen zutrauen, zu konkreten

Vektoren gefasst haben, zu tupeln und damit einigermaßen umgehen können, dass es Ihnen

aber dann immer noch wieder Schwierigkeiten macht, wenn es zu so etwas wie Funktionen

kommt.

Vielleicht sollten wir uns noch mal die wesentlichen Unterschiede und Zusammenhänge zwischen den

beiden anschauen und im Wesentlichen erschließt sich alles, wenn man sich noch mal vor Augen

führt, was bedeutet denn Gleichheit?

Wenn ich im RN bin, dann bedeutet doch Gleichheit von Tupeln einfach Gleichheit jeder Komponente.

Das heißt eine Vektorgleichung, eine konkrete Vektorgleichung im RN, ist einfach eine Kurzschreibweise

für n skalare Gleichungen, für n Gleichungen in den reellen Zahlen.

Und je nachdem, das kann ich nun von beiden Seiten sehen, entweder ich habe diese Vektorgleichheit,

dann habe ich n Bedingungsgleichungen, dann sind wir wieder ein Stück weit bei unserem

Gleichungssystem oder aber ich will eine Gleichheit zeigen, dann muss ich in irgendeiner Form

diese n Gleichungen zeigen.

Also halten wir einfach noch mal das Triviale fest.

Wenn ich zwei Vektoren aus dem RN habe, dann heißt natürlich x gleich y genau x i gleich

y i für alle i von 1 bis n, das sind n Gleichungen.

Wenn ich nun zwei Funktionen habe, f und g und damit diese Funktionen so halbwegs konkret

aussehen, beschränke ich mich hier, wobei das keine große Rolle spielt, auf stetige

Funktionen.

Ich weiß, dass die Analyse den Begriff der Stetigkeit noch lange nicht diskutiert hat,

aber ich gehe mal davon aus, dass sie eine grobe Vorstellung davon haben, was eine stetige

Funktion ist, das ist nur zum Kokretisierung gedacht.

Wenn ich mir stetige Funktionen auf einen Intervall a b, sagen wir mit Werten in den

reellen Zahlen anschaue, was bedeutet dann f gleich g?

Was bedeutet das?

Genau, und dann steht also dann hier, ich nehme x für das Argument oder t, um den

obigen x nicht durcheinander zu kommen, f von t gleich g von t für alle t aus a b.

Also hier habe ich n Gleichungen zu stehen.

Nennt ihr, wie viele Gleichungen habe ich hier unten zu stehen?

Eine, zwei, fünf, siebenundzwanzig, unendlich viele und zwar schrecklich unendlich viele.

Wenn wir es ganz genau machen wollen, überabzählbar unendlich viele, wobei diese Begrifflichkeiten

für uns jetzt keine zu große Rolle spielen.

Das heißt jetzt wiederum genau das Gleiche wie oben, wenn ich die Gleichheit von Funktionen

habe, dann habe ich damit unendlich viele Gleichungen.

Die Funktion hat eben grob gesprochen und mittlerweile haben wir ja das mit dem Begriff

der Dimension auch schon präzisiert.

Im Gegensatz zu einem Tupelraum, der n Freiheitsgrade hat, sprich der Tupelraum hat die Dimension

n, hat eine Funktion unendlich viele Freiheitsgrade, sprich die Dimension dieses Vektoraums ist

unendlich, sogar überabzählbar unendlich, wenn man es genau nimmt.

Das heißt also, wenn ich eine Funktionengleichheit hinschreibe, dann schreibe ich immer unendlich

viele Gleichungen hin.

Wenn ich eine Funktionengleichheit zeigen will, muss ich im Prinzip unendlich viele

Bedingungen zeigen, es sei denn ich habe weitere Einschränkungen, die wiederum mir sagen,

naja eigentlich sind meine Funktionen ja schon aus einem endlichdimensionalen Raum, wenn ich

mich nur auf Polynome eines gewissen Grades zum Beispiel beschränke.

Was heißt das jetzt konkret zum Überprüfen der linearen Unabhängigkeit?

Wenn ich im Funktionenraum lineare Unabhängigkeit überprüfe, das heißt mit dem Test auf lineare

Unabhängigkeit starte, dann starte ich ja mit einer Gleichung, Null, die Funktion Null