Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Einmal heute, dann haben wir es geschafft. Jetzt geht es los in Richtung Computer-Algebra,

die dann so auch eine Anwendung Richtung Optimierung hat. Das ist eigentlich die ursprüngliche Brücke

von Algebra zur Optimierung und die hat was zu tun mit dem Begriff einer Gröbner-Basis.

Das wird also jetzt das zweite große Kapitel werden. Also mit Hebebasen war eher so ein Einschub als Übung.

Gröbner-Basen hat auch so einen ähnlichen, hat einen Bezug zu dem Thema heute früh.

Also Polynomen, Polynome kam davor und wir haben also wieder einen Polynomring hier gegeben.

Da sind gewissen Koffizienten, nehmen wir mal einen Koffizienten Körper,

das ist echt die Reellenzahl in Komplexen und wir haben n unbestimmte. Damit ich mir ein bisschen Schreibarbeit spare,

kürze ich das öfter auch mal ab. Einfach nur als Kx, meine damit aber einen Koffizienten Körper in n unbestimmten.

Meine mit dem Polynomring in n unbestimmten. Gut.

So weiß jemand von euch nach was ein Ideal in nem Ringen R ist?

Ja, machen wir zwei Teile glaube ich, die wir brauchen.

Ok, also erst mal Teil Ring, das heißt also abgeschlossen bezüglich Addition, Subtraction,

also Inversenbildung, Multiplikation, also abgeschlossen bezüglich der üblichen Ringoperation.

Und wenn ich ein beliebiges Ringelement nehme und ein Idealelement, dann ist dieses Produkt von den beiden

nicht nur im Ring drin, sondern sogar bleibt es im Ideal. Als Beispiel hätten wir den Ring der ganzen Zahlen

und die geraden Zahlen bilden da ein Ideal, das abgeschlossen bezüglich Addition, Subtraction, Mal und wenn ich mit ner geraden Zahl

irgendeine ganze Zahl multipliziere, bleibe ich wieder bei ner geraden Zahl. So ein Polynomring, Polynomideal in nem Polynomring.

Das wird von ner Menge von Polynomen erzeugt und wir werden in kürze noch mal sehen, dass jedes Polynomideal

auch nur von endlich vielen Polynomen erzeugt wird. Und das soll nichts anderes sein als die Menge aller Linearkombinationen,

weil die GI jetzt nicht konstanten sind oder Zahlen, sondern Polynome. Da sehen wir schon, dass diese Konstruktion

abgeschlossen ist gegen Summenbildung und wenn ich so ein Element mit nem Polynom multipliziere, dann multiplizieren sich nur

entsprechende Koeffizienten, das heißt ich bekomme wieder etwas, was diese Gestalt hat, ich verlasse also das Ideal tatsächlich nicht.

Das abgeschlossene auch gegenüber Multiplikation mit nem beliebigen Polynom, also Ringelement. Gut. Ja, dann vor etwa, mittlerweile sind es schon fast 50 Jahre,

bekam jemand mal eine Frage gestellt, jemand war Bruno Buchberger. Wer bekam die Frage gestellt?

Wie kann man algorithmisch entscheiden, ob ein gegebenes Polynom

in einem gegebenen Polynomideal liegt, was von ein paar anderen gegebenen Polynomen aufgespannt wird?

Das ist das sogenannte Polynom. Im Deutschen gibt es also kein schönes Wort dafür. Ideal-Enthaltenseins-Test, ziemlich schrecklich.

Also Ideal-Membership-Problem. Wie kann ich testen, ob das F da drin ist?

Also wie kann ich testen, ob es zu dem gegebenen F hier entsprechende GIs gibt als Kofaktoren?

Ja, ein Weg wäre, ich finde solche GIs, sowas ähnliches haben wir heute früh schon mal gemacht.

Da war aber das F das 1-Polygonom und wir suchten nach GI, aber wir könnten das jetzt für ein beliebiges Polynom machen.

Also hier ist der Zusammenhang und der junge Mann war damals, also das Problem gelöst hat so 22 bis 23 Jahre und hatte seine Doktorarbeit darüber geschrieben und fertig gemacht

und hat einen algorithmischen Ansatz hier tatsächlich gefunden und hat die dann, die Lösung dann zu Ehren seines Doktorvaters, Gröbnerbasen genannt.

Ja, weil Herr Gröbner halt sein Doktorvater war. Gut. Also so zur Namensgebung, wie wir dahin kommen.

Und wir werden uns jetzt dieses Problem erstmal in einer Unbestimmten anschauen, weil da fühlen wir uns ja doch ein bisschen mehr zu Hause.

Ob ich jetzt KX1 oder KX schreibe, es soll einfach nur eine Unbestimmte bedeuten.

So, die Geheben habe ich jetzt zwei Polynome.

Und ich soll entscheiden, ob dieses eine Polynom im Polynomring ist, was Polynomideal ist, was von diesen beiden anderen Polynomen aufgespannt wird.

Ist also F eine polynomialen Linearkombination von G und H.

Gut, also er hat ja schon die Lösung genannt.

In einer Unbestimmten können wir das Erzeugungssystem vereinfachen.

Wir ändern das Erzeugungssystem nicht, indem ich ein Vielfachen des einen Erzeugers von dem anderen abziehe.

Oder wieder umgekehrt, ein Vielfaches von dem einen Erzeuger von dem anderen abziehe und hinten zurück.

Und so spielen wir praktisch den Orkidischen Algorithmus durch das Ideal, was von G und H in diesem Polynomring erzeugt wird.

Ist das Gleiche, wie das, was für den großen gemeinsamen Teiler, greatest common denominator, von G und H erzeugt wird.

Und das ist also jetzt schon mal ein Polynom weniger.

Hätte ich mehrere Erzeugende, ja, dann würde ich das Spielchen nacheinander treiben.

Ich kriege dann den größten gemeinsamen Teil aller dieser Polynome bis auf einen konstanten Faktor.