Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ich würde sagen, wir fangen einfach an zu zweit machen, dass wir heute mal entspannt

und schauen wir, wie es hier weitergeht.

Okay, also gestern habe ich euch noch erzählt, was ist eine Gröbner-Basis von so einem Ideal

aus einem Polynomring in mehreren Unbestimmten bezüglich einer gegebenen Termordnung.

Na klar.

Kann sich noch jemand erinnern, was so die Bedingungen waren?

Als hier eine erstmal war, g sollte endlich sein.

Also wir hätten gerne ein endliches Erzeugungssystem.

Und das zweite war, dass die Leittherme, also die größten Therme der Polynome im G,

schon das Leitthermedial aufspannen, was durch die Leittherme aus I bestimmt ist.

Das ist ein Monomedial, nach dem Dixon Lemma oder Gordon Dixon Lemma ist es endlich erzeugt.

Und das wären hier endlich viele Erzeuger.

Das ist eine Bedingung, die nur auf den Leitthermen gilt.

Über den restlichen Teil der Polynome wissen wir gar nichts.

Und trotzdem ist das schon ausreichend, um zu sichern, dass wenn G so eine Gründnerbasis von I ist und F ist in I,

dann ist der Rest bei Division von F durch G immer 0.

Und zwar egal, wie wir das machen mit der Polynomendivision, es bleibt gar keine andere Möglichkeit.

Wenn da irgendwie ein Rest übrig bliebe, der nicht 0 ist, dann hätte der einen Leittherm.

Und dieser Leittherm wurde durch irgendeinen Leittherm von einem Polynom aus G geteilt.

Und ich könnte diesen Rest weiter reduzieren. Das kann nicht sein. Das heißt, der Rest muss 0 sein.

Das zweite spannende war, wir hatten eine spezielle Termordnung.

Das war die lexicografische. Die wird uns jetzt erstmal weiter interessieren.

Wir hatten noch Decklex, wo wir zuerst nach dem Totalgrad schauen und wenn der gleich ist, danach lexografisch auflösen.

Oder wir hatten Deckreflex testen und wenn der Grad übereinstimmt, dann etwas, was von hinten,

wie es eine Art inverse lexicografische Ordnung war. Dann ist er der Kleine, der von rechts den größeren Eintrag hat.

Gut, wofür wir uns jetzt interessieren, ist die lexicografische Termordnung. Die hat sehr schöne Eigenschaften.

Bzw. nicht die lexographische an sich, sondern gröbner Basen bezüglich dieser Termnung.

Das geht jetzt unter der Überschrift Elimination von Variablen oder Unbestimmten.

Wenn ihr euch an den gaussischen Algorithmus erinnert, wie der funktioniert, um so ein lineares Gleichsystem zu lösen.

Der macht prinzipiell so etwas, der transformiert so ein Gleichungssystem,

also potenziell jeder Variable in jeder Gleichung vorkommt, in eine gewisse Trapez oder Dreiecksform.

Das soll also bedeuten, dass nach und nach Variablen eliminiert werden bzw. es ist dann eher so eine Stufenform im linearen Fall.

Es können also durchaus auch mehrere Variablen fehlen. Aus dieser Gestalt kann man die Lösungsmenge explizit beschreiben.

Das ist die Idee, dass wir das Gleiche auch im nicht-linearen Fall versuchen.

Ich versuche den gleichen Ansatz im nicht-linearen Fall.

Dafür ist diese lexkografische Termordnung geeignet.

Wir beginnen mit einem Ideal in unserem Pro-Ring N unbestimmten.

Das sind alle Bedingungen, also ein Haufen von Gleichungen, die meinen Arbe in allen Variablen unbestimmen.

Wenn ich diese Gleichungen erfülle, dann erfülle ich natürlich auch jede polynomialen Linearkombinationen von diesen Gleichungen.

Das heißt, ich kann versuchen, die Erzeuger von I so geschickt miteinander zu kombinieren, dass vielleicht Variablen eliminiert werden.

I, J soll das J der Eliminationsideal sein.

Das soll heißen, ich möchte unter all den Polynomen, die in I sind, die die ersten J unbestimmten nicht mehr enthalten.

Die also nur noch Relationen in den restlichen N-J unbestimmten enthalten.

Wenn ich mir das N-1. Eliminationsideal anschaue, dann finde ich alle Polynome in dieser einen unbestimmten.

Wenn ich die Polynome in der N-1 gibt, kann ich versuchen, die N-1-Polynome zu bestimmen.

Das ist so ähnlich wie beim Graus-Algorithm.

Das hier wird von einem Polynom erzeugt oder ist halt leer.

Also entweder gibt es so einen Polynomen oder es gibt halt keins.

Also von einem Polynomen nenne ich das mal F, löse F gleich 0 über den algebraischen Abschluss.